數學核心素養視角下的“雙軌跡問題”賞析

凌海霞 (江蘇省沙溪高級中學 215421)

近幾年來，高考數學試卷及各地高考數學模擬試卷中常常出現“雙軌跡問題”，除了考查數學相關知識與方法外，還重點考查了學生的數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學能力，符合課標倡導的課程教育目標．在數學高考復習中應該加強數學核心素養的培養，首要的任務是選擇好相關的素材，通過引領、示范開展好數學課堂活動．

1 合理分解條件，培養學生的數學運算能力

解析幾何是用代數方法處理幾何問題．通過代數符號、數據進行數學運算，可以培養學生的數學運算能力.

(說明：類似這樣的一個動點滿足同時在兩個軌跡上的問題，我們稱其為雙軌跡問題.)

圖1

說明 將條件①②分解開來，分別得到點P所在的兩個軌跡，然后轉化為兩個軌跡的關系問題. 在解決該問題時，運用代數運算、分析和推斷，培養學生的數學運算能力.

2 揭示數學本質，提升學生的數學抽象能力

從探究數學本質的角度來說，雙軌跡問題大體可以分為兩類：一類是可以轉化為圓與圓的位置關系問題(如問題1)，另一類是可以轉化為直線與圓的位置關系問題(如下面的問題2)．

圖2 圖3

3 利用數形結合，增強學生運用直觀想象的意識

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養[1].主要表現為：建立形與數之間的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.而是否有運用直觀想象的意識是關鍵！

圖4

說明通過數與形的相互轉化，發展幾何直觀和空間想象能力，增強學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識.

從問題1～3的分析可知，解決雙軌跡問題分為兩步：第一步，確定一個動點作為研究的對象，分解題目的條件，然后分別求該點的兩個軌跡；第二步，針對所得的軌跡揭示問題的本質，然后采取相應的解決方法. 針對第一步，如果在問題中有多個動點，又是如何解決呢？

4 學會有邏輯地思考，培養邏輯推理能力

邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質[1].如何能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，從而形成有條理、合乎邏輯的思維品質呢？

說明解答此問題要先對條件進行分析，確定研究的對象，通過邏輯推理得到結論.這是培養學生邏輯推理能力最有效的途徑．

綜上，解決雙軌跡問題的難點有兩個：(1)確定一個動點作為的研究對象，如果題目中出現多個動點，要首先確定起決定作用的點；(2)動點所在的兩個軌跡中一般有一個是已知的，而另一個是隱含在條件中的，這需要學生要有軌跡意識，分析動點滿足的幾何性質或滿足的等量關系，從而求得動點的軌跡方程.