那些年我們追過的江蘇卷上的熱點
——兼談對高考真題研究的思考

卞康林 (江蘇省溧陽市戴埠高級中學 213300)

2020年高考落下了帷幕，江蘇高考自主命題也完成了它的歷史使命．盡管江蘇卷大多數時候給人的印象是難度很大、要求較高，但不可否認的是，江蘇卷的命制一直維持在較高的水準，既側重考查考生的基本數學能力和數學核心素養，又能引導考生對數學思想的追尋和數學應用的探索．尤其是從2008年起，江蘇卷自成一格，試題也是自帶熱點，每年都會有一些設計精妙、蘊含一定數學思想的試題引起眾多專家及師生的熱議和關注，試題本身所涉及的數學原理、思想方法、知識背景，以及典型的解法都會引起廣泛的研究和討論，也會在很大程度上成為下一年備考的熱點題型，由此產生了高考熱點問題的模型化、結論化、題海化等現象．本文通過對部分江蘇卷上典型的熱點問題進行回顧，對上述現象進行一定的剖析和思考，同時向曾經帶給我們無數痛苦、快樂、深思的江蘇卷致敬．

1 那些年我們追過的熱點

熱點1 有一種圖形叫隱形圓

此題一出，接下來的每一屆高三學生都知道了阿波羅尼斯圓，更進一步，大家都在研究哪些方程形式可以化歸為圓的方程，真是初見不識圓，再看處處圓，隱形圓從此名聲大噪．事實上，此題完全可以從解三角形的角度表示出面積關于邊長或角的函數來求解，相比隱形圓的角度，我們可以理解為平面幾何與解析幾何的碰撞，解析幾何的角度賦予了圖形的動態直觀，體現了方程與曲線的互相轉化，也就是可以從數形結合的角度進行理解．此外，可用隱形圓的角度解決的高考試題多次出現過，如2013年第17題，2017年第13題．

熱點2 第一定義、第二定義，還有第三定義

圖1

(1)(2)略；(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB．

熱點3 有一種數量積的解法叫極化恒等式

圖2

作為一道考查向量數量積的高考試題來講，從基底法或坐標化的角度來解決并不復雜，從極化恒等式的角度來說，更高效，無論哪種方法都能很好地體現方程思想．我們發現，當已知條件集中在三角形的中線和對邊、繼而考查向量數量積的時候，極化恒等式的效果是比較明顯的．但是，在教學過程中，一些教師過于神話這一方法，而忽視了這一方法的本質依然是基底法，只不過是選擇了兩個特殊的向量作為基底．這就說明，我們在研究高考題時，不要機械地停留在某些方法的表面，不要將其神話，而應該發掘試題背后的數學思想，探究其本質，從而進一步加深對通性通法的理解．

熱點4 定點、定值的熱度從未減退

典型試題(2008·江蘇18)在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標軸有三個交點，經過三個交點的圓記為C．

(1)(2)略；(3)問圓C是否經過定點(其坐標與b的值無關)？請證明你的結論．

凡是高三學生復習到解析幾何的內容，定點、定值問題是無法回避的．這類問題綜合程度高，涉及到的通性通法多，復習價值大．此題的常規解法為將圖形過定點的幾何特征轉化為方程恒成立(與參數無關)的代數關系．此后，2009年第18題、2010年第18題均考查了定點問題，2011年第18題(第3問證明題，本質上是求證兩直線斜率乘積為定值)、2012年第19題均考查了定值問題．

熱點5 不會“取點”是無法駕馭“零點存在性定理”的

典型試題(2013·江蘇20)設函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數．

(1)略；(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數，試求f(x)的零點個數，并證明你的結論．

江蘇卷對函數的零點的考查頻率是很高的．回頭來看此題中的兩個函數，是現在研究運用零點存在性定理解決函數零點問題最常見的兩個函數模型，由此可見此題的經典非同一般．兩個函數中匯集了指數函數、對數函數、一次函數，這似乎在告訴我們，弄清楚不同函數的變化率就可以判斷清楚由它們組合而成的新函數的變化趨勢，加上一些適當的放縮，就可以取得一些能夠使得函數值為正或負的合適的點．對于學生來說，如果對于一些常見函數的性質理解不到位，就會對取點的方法把握不好，導致不能解決問題．不得不說的是，對函數零點的考查，重點還是應用零點存在性定理研究零點的個數及分布，“取點”只是其中的一個要素，怎樣取到合適、“好看”的點只是小技巧，不能一葉障目，不見泰山．

江蘇自主命題一路走來，熱點遠遠不止以上所列的幾個.中學教師對高考真題向來是相當重視的，歷年來的研究也是成果豐碩．然而，如何從高考熱點真題中汲取營養，既提高個人的數學素養，又高屋建瓴、更加合理地服務于學生對數學學習的需求，提高學生的核心素養，就不僅僅是幾個研究的小成果能解決的了．

2 對高考熱點試題研究的思考

對高考真題的研究一般都會深入探究其內涵及其外延，即前面所提到的數學原理、思想方法、知識背景，以及典型的解法等，主要目標是弄清高考考什么，怎樣備考更有針對性、更高效．對試題內涵的探究能夠幫助我們更好地理解高考的考查方向，加深對知識本身的感悟，更好地串聯起題型與方法之間的聯系．很多模考試題都改編自高考題，通過對高考真題的提煉、重組，形成新的問題情境，不難看出對高考題深入研究的重要性．

在具體實踐中，我們也容易發現有一些用力過猛、提煉不當的情況.

(1)貼標簽式的專題復習

以熱點3為例，在一些復習資料中，將大量適用極化恒等式解決的向量問題進行羅列，忽略審題，不分析解題目標，通篇地套公式，題目做得很多，產生思維定勢，甚至原本可以輕松地用基底法或坐標法解決的問題，也變得“不識廬山真面目”．如何解決這樣的問題呢？筆者認為，某個方法的提煉一定有其合理性，關鍵是教學過程中要闡述清楚為什么這個方法更高效(尋找數學原理、思想方法)，對用來做鞏固的練習要精選，量少而精(體現知識背景)，從引導學生“就這么做”到“為什么這么做”，從方法體系的擴充到數學思想的完善，從而提高學生的數學素養．

(2)過于強調二級結論

在對高考真題知識背景的研究過程中，很容易引出一些二級結論．以熱點2為例，引出橢圓的第三定義是比較自然的，但我們一些教師過于強調二級結論，盲目地補充，要求學生識記，本末倒置．一方面，我們發現，高考考查從來都不會依賴所謂的二級結論才能解決，高考試題一大特點是來源于課本、以本為本，因此，考查的重心一定是通性通法；另一方面，我們可以更加關注二級結論的推導、形成過程，追根溯源，才能更好地理解問題的本質．

3 結束語

江蘇考生將從2021年起迎來全國卷，一些教師認為研究江蘇卷已經失去了實際意義，從前面的論述不難看出，如果定位是曾經的江蘇卷上出現的某個具體的方法、具體的某個知識點與全國卷的對應關系，確實我們很難有太多收獲．因為，那些從未改變的是我們在學習和探索的過程中所認識到的深刻的數學思想、縝密的解題邏輯、精巧的解題策略．我們認識到從“維納斯身高”到“埃及胡夫金字塔”的題目實為異曲同工，對學生核心素養的考查從未曾改變．