素養導向下的高考應用題分析研究及教學建議

蔡 欣 (江蘇省南京市教師培訓中心 210002)

文[1]指出，高考正在實現由能力立意向素養導向的歷史性轉變，所謂素養導向下的高考命題，更注重科學思維的考查，更注重科學探究能力的考查，更注重情境化試題的考查．這些考查無疑都是指向數學核心素養的，更強調分析和解決實際問題的關鍵能力，更凸顯數學的應用意識[2]，而考查核心素養和關鍵能力的較好載體就是應用題．環顧高考數學全國卷和其他省市試卷，大多數應用題都以概率統計知識為背景，而江蘇這么多年來都是基于三角、函數(導數)、不等式、數列、立體幾何等知識為背景命制應用題，這無疑是江蘇卷的一大特色．本文以2019年江蘇卷應用題為例，結合2020年新高考I卷應用性試題，分析研究核心素養導向下的高考應用題，并試圖給出一些教學策略和建議，以期與同行探討．

試題如圖1，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規劃在公路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA．規劃要求:線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測得AB=10，AC=6，BD=12(單位:百米)．

(1)若道路P1B與橋AB垂直，求道路P1B的長；

(2)在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

(3)在規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)，求當d最小時，P，Q兩點間的距離．

1 特點分析

本題是一個典型的真實情境化問題，問題背景涉及路橋問題，切合生產實際，貼近學生生活，與蘇教版《數學5》(必修)第14頁例2有異曲同工之妙，故可認為是教材的改編題，可謂源自教材，背景公平．本題給出配圖，圖形幫助學生快速讀懂題意[3]，但沒有給數學模型，屬于有圖無“模”型.

2 策略研究

圖2是應用性問題的一般操作流程，可以看到，這是從實際問題原型到數學模型再回到實際問題原型的認識過程，它的核心環節是數學建模．

圖2

2.1 研讀題目

要特別注意本題中“所有點”“不小于”“當d最小時”等關鍵信息．

2.2 數學建模

對實際問題進行數學抽象，并用數學語言予以表征，構建數學模型(如函數、方程、不等式模型)，確定參數，運算求解，對計算結果進行檢驗，必要時還需改進優化數學模型并再次求解檢驗，直至解決問題．可以看到，數學建模至少包括三部分——將實際問題抽象為數學問題，確定參數構建數學模型，數學運算求解數學模型．

·數學抽象

數學抽象搭建了數學與外部世界的橋梁，它是數學核心素養之一.這一過程中，需要剝去題中無關解題的背景和表象，保留對象中的數量關系和空間形式.本題的數學表述如下：

如圖3，已知AB是圓O的直徑，點A，B到圓O外直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，其中AB=10，AC=6，BD=12，P，Q兩點在直線l上，且PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．

圖3

(1)若P1B⊥AB，求P1B；

(2)P和Q中能否有一個點落在D處？并說明理由；

(3)若PB=QA=d，當d取最小值時，求P，Q兩點間的距離．

·建構模型

問題的解決關鍵在于構建適切的數學模型．本題中，對“線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑”這一關鍵語句的刻畫顯得尤為重要．

一種直白的刻畫:對點P而言，若線段PB上任意一點P′，都有P′O≥r，則點P滿足規劃要求.這是用關于距離的不等式模型刻畫點P．在這樣的數學模型下，很難確定滿足條件的點P所在的區域，后續的工作也就更困難．

另一種刻畫：通過作圖觀察分析，發現當∠OBP<90°時，點P不滿足規劃要求，只有當∠OBP≥90°時，點P滿足規劃要求.這是用關于角度的不等式模型刻畫點P．在這種數學模型下，不難確定直線l上滿足條件的動點P只能在點P1的左側(含點P1)，滿足條件的點Q只能在點Q1的右側(含點Q1)(其中Q1A⊥AB).因此，問題(2)轉化為：分別判斷∠OBD和∠OAD與90°的大小關系．問題(3)轉化為：點P在P1的左側運動，點Q在點Q1的右側運動，且PB=QA=d，當d最小時，求P，Q兩點間的距離．

從高考閱卷情況來看，此題得分不高的很大部分原因是數學模型選擇得不合適.由此可見，構建合理、適切、優化的數學模型是至關重要的.當然，要做到選擇適切，必然要對數學模型進行分析、比較、評估和調整，這恰恰意味著選擇能力的重要性．

·求解模型

此題入口較寬，關于問題(1)，可以選擇用平面幾何法、三角函數法或者解析幾何法.關于問題(2)，實質就是分別判斷∠ABP和∠BAD與90°的大小關系，可以用余弦定理，也可以用向量數量積來處理.關于問題(3)，要說明d的最小值，不能僅僅是靜態幾何圖形下的計算，而應著眼于其中的“變化”，即構建關于PB的目標函數模型，確定自變量的取值范圍，然后求該函數的最小值.選擇刻畫動點P的參數，既可以是線段長度也可以是角度．限于篇幅，以下僅給出部分略解．

問題(2)中點Q能否落在點D處？

兩種方法都能得到∠BAD為銳角，故點Q不能落在點D處．

3 思考

本題就知識目標而言，考查了三角函數的應用、解方程、余弦定理、向量數量積、直線與圓等基礎知識；就能力目標而言，考查了獨立探究、數學閱讀和表達、分析和解決實際問題等關鍵能力；就素養目標而言，考查了數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養；因需要“創造”新的數學對象，故又考查了學生的創新意識、應用意識和實踐能力．另外，前幾年江蘇卷的應用題都統一設定參數，這種函數模型的構建實質上就是“靜態”地建立數學關系式，一定程度上降低了數學建模的“含金量”，而本題的參數不止一種選擇，給了學生更多的選擇空間．

高考數學江蘇卷試題從能力立意到素養導向的轉變有以下突出表現：其一，考查情境從學科知識化到真實情境化；其二，考查目標從常規性問題到探究性要求，如本題中第(2)問是方案的可行性判斷，或者說是探究性說明，而不是求解論證；其三，試題要素從單一到多元，如本題是兩個動點，因素就復雜了，也給學生心理造成一定的陌生感和畏懼感.

4 教學建議

2021年將有江蘇、遼寧等8個省份進行新高考，數學高考都將使用全國卷.2020年高考第一次出現的全國新高考卷，無疑具有“先行一步”的示范引領意義，研究全國新高考卷，也就有重要而積極的意義．以新高考I卷為例，該卷應用性試題選擇當前重大公共衛生問題、環境保護、勞動、體育、古代科學等現實生活情境、科學情境，具體見表1.

表1 2020年新高考I卷應用性試題分析

一定意義下，這些題目屬于傳統意義下的應用題，要解決以上問題，就要將非數學情境的問題抽象為數學問題，再用數學知識去解決.解題過程充滿著抽象、判斷、選擇、評估、優化等一系列過程，

著力考查了數學抽象、數學建模、數學推理、數據分析等核心素養，更為重要的是，考生在解決過程中，受到德、智、體、美、勞的全面教育．可以看到，應用題考查的力度加大了，這是新高考改革的重要趨勢.基于以上分析，就應用題教學給出如下建議．

4.1 關注新情境題，注重背景研究

為更好地區分和選拔人才，新高考更追求實踐性，會用好的情境來考查．教學中，要經常給學生一些新穎的、緊扣時代氣息的問題情境；要更多關注數學與自然科學、人文社科等其他領域的融合，注重數學與社會的緊密聯系；要充分利用教材上的一些背景編擬一些應用問題，像蘇教版上“閱讀材料”“探究拓展”“鏈接”等欄目，都是較好的背景資源；要注重引導學生將實際問題抽象概括為數學問題，引領學生以數學的視角觀察世界，以數學的思維思考世界，以數學的語言表達世界．

4.2 加強審題教學，提高閱讀能力

應用題閱讀量(文字、圖形、符號)的增加是高考的大勢所趨，對學生的閱讀能力提出了較高要求.而這一環節往往被很多學生所忽略，他們讀題時一目十行，只了解大概題意就匆忙下筆，最后導致問題百出．教學中，要提升學生的審題意識，培養學生嚴謹品質；在審題、閱讀環節加強指導與練習，提高學生的信息提取和加工能力，必要時要求學生逐字逐句閱讀，邊閱讀邊記錄，如數據可以列成表格形式，一些重要關系直接標記出來．另外，要讓學生特別注意加著重號的部分或括號內的信息，這樣能迅速掌握有效信息，大大提高閱讀效率．

4.3 突出學生主體，留足時間空間

教學中，要讓學生自主觀察、探究、分析、歸納、反思、整合，讓學生學會思考，在解決問題中提高能力；要留足學生“自己整理訂正”的時間，讓學生再發現、再提出問題，把數學探究活動推向深入；幫助學生克服對應用題的心理障礙，增強解應用題的信心.高考數學會“多考想，少考算”，在思維層次上區分考生，教學更應突出思維能力的培養，發展學生的核心素養，培養學生的理性精神，進而促進人的發展[4].

4.4 加強模型教學，固化建模程序

一般有如下的數學建模程序：(1)閱讀材料，分析、篩選、處理信息，并用圖形或者表格的形式呈現出來，即弄懂題意并梳理出關鍵信息，這是第一關——文理關；(2)對實際問題進行數學抽象，并用數學語言進行表征，這是第二關——事理關；(3)構建合適的數學模型，這是關鍵一環，過程中需要找到關鍵變量，以恰當的量(如角度或者長度)去刻畫這一關鍵變量，建立相關諸要素之間的關系(相等關系或者不等關系)，這是第三關——數理關；(4)對數學模型進行計算求解，這是第四關——算數關；(5)對計算結果進行回歸檢驗，考查評估是否滿足實際情況，若與實際相去甚遠，還需改進優化數學模型并再次求解．