基于基本活動經驗的教學設計研究
——以“雙曲線的漸近線方程”為例

王思儉 (江蘇省蘇州中學 215007)

1 問題提出

1.1 現狀分析

筆者近兩年就“雙曲線的幾何性質——漸近線方程”的教學情況進行了調研，先后隨堂聽課36節.其中,只有一位教師從具體的雙曲線方程利用幾何畫板演示漸近線的形成，再進行例題講解；12位教師將此性質并入其他幾何性質，并且帶領學生閱讀課本內容，然后進行反復強化訓練；23位教師直接將雙曲線的漸近線方程告訴學生，再結合其他性質做一系列的綜合題．不但沒有系統講解知識的形成過程，而且沒有具體的課時安排，而是與其他知識混搭，更沒有立足學生已有的基本活動經驗去進行教學設計，仍然是關注題海戰術，有的一節課講解25～30個題目，學生機械模仿，沒有自己的思想，更沒有思考與交流的機會．

新一輪課程改革的宗旨是讓學生學會思考，進而學會終身學習．鑒于此，筆者受蘇州大學數學科學院的邀請，于2019年11月15日為2016級本科生和2017級研究生以及蘇州中學數學組青年教師執教了“雙曲線的漸近線方程”，旨在希望他們將來在自己的教學實踐中要關注學生的學習、交流和思考，提高學生的思維能力和學科素養．

1.2 教材分析

雙曲線的漸近線方程是其幾何性質之一，蘇教版高中數學教材選修2-1第41頁詳細闡述了漸近線方程的由來，并從極限思想出發作了理性說明，但學生仍無法接受這種粗略的描述性說明．能否從學生的基本活動經驗出發，利用從特殊到一般的數學思維方法，尋求新的教學思路？

1.3 學情分析

教學對象是本校高二15班31名學生，該班是本校與中國科學技術大學聯合創辦的首屆少預班，學生是從初二直接選拔讀高中的，年齡都是15～16歲．他們思維活躍，反應較快，接受能力、自學能力和理解能力較強，但數學書寫往往不到位，特別是邏輯推理方面欠缺.選擇這節內容開設公開課，旨在引導學生會用數學語言表述事件．

2 教學實錄

師：第(1)個函數的圖象叫做什么？在第一象限內隨著x趨近正無窮，函數圖象變化如何？

圖1 圖2 圖3

師：正確！這時我們把x軸、y軸叫做它的漸近線．后兩個函數的圖象情況怎樣？

生3：函數y=log2x的圖象隨著x無限趨近于0+，圖象無限接近y軸，但不能越過y軸(圖3)．

師：很好！你們從直觀想象層面上理解漸近線，那么你們能從邏輯推理層面再給出解釋嗎？

師：很好！你能找出x0嗎？

師：非常好！生6從離散量到連續的量進行嚴格推理證明，對于后兩個函數圖象的漸近線又如何推理研究呢？

師：很好！

設計意圖基本活動經驗1——初等函數從圖象上研究曲線的形狀、特征，從幾何直觀上理解漸近線，體現直觀想象核心素養，再從數據分析上理解漸近線．

An(1,0)(2,3)(3,22)…(n,n2-1)…dn

設計意圖基本活動經驗2——利用點到直線距離公式，體現數據分析核心素養．

師：正確！請研究點An滿足的規律是什么？

生10：點An在曲線x2-y2=1(x>0,y>0)上，即雙曲線的第一象限內的一部分．

師：請作出點An所在曲線的圖形及直線y=x的圖形．

圖4

生眾：(在自己座位上畫圖，教師走到學生中間巡視)利用對稱性可以拓展得到曲線x2-y2=1與y=±x的圖形．

師：當n趨近正無窮，dn的變化趨勢如何？

生眾：不嚴謹,需要證明．

師：哪位同學來證明？

生13：這里n應該是任意正實數x，當x→+∞時，d→0．

師：非常好！你們從哪里學到的？

生13：我在高等數學書上看到的，自學了一點，這樣討論我更加清楚了．

師：通過證明，運用類比思想，把直線y=±x叫做雙曲線x2-y2=1的漸近線．

設計意圖體現數據分析、邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養．

生眾：能否將上述問題推廣？

師：很好！請填寫下表(點An到直線l：bx-ay=0(a>0,b>0)的距離dn)，并回答問題：

An(a,0)(2a,3b)(3a,22b)…(na,n2-1b)…dn

問題1 觀察An的特征.(或所在曲線是什么？)

問題2 觀察點An到直線l距離dn的特征．

問題3 你能發現什么規律？

與國內的工作環境相比 ，境外工作將面對的是一個完全不同的工作環境 （其中包括社會、政治、經濟、法律、風俗習慣、地理氣候、施工工藝等方面），所以對所有參與海外項目的工作人員提出了高標準、高水平、高素質的嚴格要求。

師：很好！實質就是剛才的特例．

問題4 你能改進計算距離的算法嗎？

設計意圖培養學生從特殊到一般的思維方法，訓練數學抽象、邏輯推理等核心素養．

生21：如同橢圓對應矩形MNPQ(其中M(a,b),N(-a,b),P(-a,-b),Q(a,-b))的兩條對角線．

師：這也是作雙曲線圖象草圖時常用的方法，生21是利用類比的方法得出，很好！

師：這種記憶方法與雙曲線方程形成統一美、對稱美、和諧美，數學之美無處不在！請你們探究——漸近線的斜率與離心率的關系是什么？

設計意圖利用類比思想研究雙曲線的幾何性質，訓練學生的數學抽象、直觀想象能力，讓學生發現并欣賞數學的美，傳播數學文化．

師：很好！同學們也總結出雙曲線漸近線方程兩種不同的記憶方法，反映出同學們有較強的直觀想象、類比推理和邏輯推理能力.希望大家繼續努力，要有探索和創新的精神！現在看兩道小題(略)．

3 教學反思

教師是教學的主導．主導在很大程度上可以理解為教學導向，即在教學過程中進行啟發、暗示、引導．在新課標的核心素養導向下，教師的主導地位體現在：提供學習的方向和目標、提供交流的情景和機會、提供思考的問題和動力，即學生能做的就讓學生做，教師把握一個大的方向．正如杜威所說：“他掌著舵，學生們用力把船劃向前去．”[1]

教學反思是教師進行教學活動的重要思維活動，是教師發展的重要途徑，也是課堂教學的原動力．因此，教師應該努力對每節課進行教學反思，以提升自己的專業素養．

3.1 教學生學會學習

要使學生獲得可持續發展，還要讓學生學會學習，教給他們學習的方法，使他們學會獨立地獲取知識；學會研究問題的方法，學會從不知開始，一步一步地達到問題的核心，直至最終的問題得以解決．

自主學習、探究學習是一種學生主動獲取知識、發展能力的學習方式．[2]新課標強調學生要學會學習，倡導學生在經歷新知識的產生過程中獲取科學研究的一般方法，提高以后解決新問題的能力．因此，在教學過程中教師要努力為學生創設寬松愉悅的探究氛圍、提供平等對話的機會．這樣能調動學生個人經驗的參與，激發學生豐富的想象力，加深對知識的理解．

3.2 教學生學會交流

“數學是思維的科學，數學教學是思維的教學．”[3]在課堂教學過程中，及時追問是提高學生思維參與、加速知識領悟的重要策略．面對學生簡單短小的回答，教師需要及時追問，在追問過程中了解學生的理解程度，捕捉可能的問題，補救可能的不足．

對話、溝通、合作、交流已經成為現代教學方法突出的特點．傳統教學中教學活動的單向性、師生交流的匱乏對教學效果的不良影響已經逐漸得到重視，課堂越來越被看成是合作、交流的融洽的學術交流場所.概念型課作為合作交流學習的一種方式，如“雙曲線的漸近線方程”，給學生提供更多展現自我的機會.因此，在教學中努力暴露學生的思維過程，本節課上教師不滿足于學生答對問題，而是通過追問檢查學生的思考狀況，明確每一個環節的意義，讓學生加深對知識的理解．對于教師的追問，學生未必能一次就回答到位，教師應該給予積極的鼓勵，增強他們直面挑戰并戰勝困難的勇氣、毅力和信心，給他們創造體驗成功的機會．

3.3 教學生學會思考

教學生學思考是數學教學的首要任務，數學教學就是“教會學生去思考”[2]，注重科學研究一般方法的滲透是有效教學的必要條件．本課以問題驅動學生思考，在問題情境和問題解決中感悟數學原理，有提出猜想、有制定方案、有實施方案、有概括總結、有反思提升，學生會在這樣的教學情境中自然而然地感受了科學研究的過程，實踐了科學研究方法．

波利亞曾說過：“令人討厭的藝術就是把什么都說出來．”[3]新課標提倡學生自主探究、學會思考．這要求教師尊重學生的主體性，提供充分的思考空間，讓學生在問題探究中表達自己的想法，修正自己的發現，完善自己的知識結構．本節課上，教師鼓勵學生不斷探索、完善用數學語言刻畫“距離越來越趨近于0”“你是怎么想到的？請把你的想法告訴大家”“想一想，這兩種距離哪個更好？”“大家還有什么想法？”這些引導語把學生的積極性調動起來，讓學生大膽地說出自己的想法.課堂上學生思維活躍，暢所欲言，成了課堂的真正主人．