基于多元表征理論的函數單調性教學設計*

賀鋅波 劉成龍 (內江師范學院數學與信息科學學院 641100)

函數單調性是高中數學的核心概念，它涉及函數、任意、自變量的值、定義域、增函數、減函數、單調遞增區間、單調遞減區間、單調區間等多個子概念.[1]函數單調性定義具有較強的抽象性，如果教學中只采取單一的表征形式，學生難以對其定義有深刻的理解.多元表征理論強調不同表征的相互滲透與互補，進而促進學生深度理解.因此，本文運用多元表征理論對高中數學函數單調性(人教A版高中數學必修1第1章第3節)進行教學設計，旨在讓學生對函數單調性概念的理解更加深刻.

1 多元表征理論與數學概念教學

表征指知識在個體心理的反映和存在方式.表征是信息記載或表達的方式，是能夠清楚表達某些實體或某類信息的形式化系統，以及說明系統如何行使其職能的若干規則.因此，表征可理解為指代某事物的符號或信號.[2]在數學概念教學中，概念的“心理表征”獲得了高度關注，使得概念教學注重由“單一表征理論”向“多元表征理論”轉變.多元表征理論突出強調數學概念的心理表征包含多個不同方面或成分，而這些成分對于深度理解數學概念具有重要作用.[3]然而，在數學學習活動中，部分學生不善于在數學概念的不同心理表征間作出選擇與轉換，從而不能準確建立起順利完成學習任務所需要的心理表征成分.

多元表征理論強調概念表征在不同方面的滲透與互補.在實際教學中教師應當善于幫助學生根據情境與需要在數學概念心理表征的不同成分間作出靈活的轉移.[3]因此，如何利用各種外部表征幫助學生真正理解數學概念本質成為了教師首要思考的問題.美國學者萊什等指出：數學概念的發展是現實情境、口頭語言、實物操作(模型)、圖象、文字符號等彼此交互的過程(圖1)，它們彼此相互聯系，促進數學概念的形成、發展和完善.[4]同時，萊什認為學生必須具備以下條件才能真正做到對數學概念的理解：第一，能夠將此概念置于不同的表征系統中；第二，在給定表征系統內能夠富有彈性地處理這個概念；第三，能將此概念在不同的表征系統間進行靈活的轉換.

圖1

數學概念的教學中，教師應當幫助學生在數學概念心理表征的不同成分間作出轉換，如通過情境表征、語言表征、操作表征、圖形表征、符號表征的相互滲透使學生在表征的不同成分間建立聯系，促進表征系統間的轉換.五種表征方式相互促進、彼此交融，共同推動著數學概念的發生、發展，促進學生良好認知結構的建構.同時，情境交流、口語表達、實際操作、圖象感知、符號刻畫等外部表征活動有利于學生建立一個多樣的、富有個性特征的表征系統.因此，多元表征理論能夠提供互補性的信息，能全面反映數學學習對象，有利于學習者把握數學對象的本質屬性，減輕學習者的認知負荷，更好地內化數學學習對象，實現數學概念的有效建構.

2 基于多元表征理論的函數單調性教學設計

教材分析 函數單調性包括函數單調性的定義、判斷及證明.初中借助一次函數、二次函數、反比例函數圖象對函數增減性進行了學習，本節正是函數增減性的延伸.單調性是函數概念的延續，它為學習其他初等函數打下基礎，為研究函數值域、定義域、解不等式、函數零點的判定等提供了工具.同時，本節中所蘊含的數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等貫穿了整個高中數學教學.

學情分析 經過初中階段的學習，學生對函數單調性已經具備了形上的直觀認識和定性描述，但是缺乏對函數單調性的定量刻畫.因此，本節最大的難點是用數學符號刻畫上升下降的變化規律.同時，在概念建構過程中要經歷從直觀到抽象、從有限到無限的思維跨越，而高一學生邏輯思維水平相對較低，抽象概括能力相對較弱，這些方面構成了學生的思維障礙.

3 教學過程

基于多元表征理論，將函數單調性教學設計為五個階段，基本流程是：生活情境—動手操作—直觀感知—概念初步形成—獲得“描述性定義”—升華為“形式化定義”.具體來講，教師將生活情境數學化，學生通過作圖說變化規律、初步感知函數單調性，再在教師的啟發下得出函數單調性的描述性定義，最終師生合作得出形式化定義.下文對各階段作具體說明．

3.1 創設情境激發興趣

教師活動 展示雨后彩虹的圖片(圖2).

圖2

問題1一次函數、二次函數和反比例函數中,哪一類函數可以用來近似描述彩虹變化規律？請寫出一個具體函數.

師生活動 學生選用二次函數描述，教師對學生選的具體函數做出評價，并指出為研究的方便統一選取y=-x2圖象近似地描述彩虹圖象.

設計意圖創設學生熟悉的問題情境，進行恰當的情境表征，快速激活學生已有的認知系統，便于學生主動建構新的數學認知結構.

3.2 直觀感知 生成概念

學生活動 畫出f(x)=-x2的圖象.

表1

圖3

問題2能說說f(x)=-x2圖象的變化趨勢嗎？

學生活動 學生總結：圖象f(x)=-x2在y軸左側呈上升趨勢，在y軸右側呈下降趨勢.

問題3能用初中所學函數的增減性描述f(x)=-x2圖象上升、下降的趨勢嗎？

學生活動 學生描述：在(-∞,0)上，函數值y隨x的增大而增大；在(0,+∞)上，函數值y隨x的增大而減小.

教師活動 教師指出：從新的視角研究函數的這種變化規律——單調性.具體來講，在區間(-∞,0)上函數值y隨x的增大而增大，稱f(x)=-x2在(-∞,0)上單調遞增，即f(x)=-x2在(-∞,0)上是增函數；在區間(0,+∞)上函數值y隨x的增大而減小，稱f(x)=-x2在(0,+∞)上單調遞減，即f(x)=-x2在(0,+∞)上是減函數.

問題4在f(x)=-x2增減性的定義中，哪些信息很重要？

學生活動 在討論中明確增減性與區間、函數值、自變量之間的變化規律有關系.

問題5類似地，你能給出一般函數單調性的定義嗎？

學生活動 類比f(x)=-x2單調性，給出函數單調性的粗糙定義：在區間D1上函數值f(x)隨著x的增大而增大，則稱f(x)在D1上是增函數；在區間D2上函數值f(x)隨著x的增大而減小，則稱f(x)在區間D2上是減函數.

設計意圖學生動手畫函數圖象，通過操作感受圖象的上升、下降趨勢(操作表征)；對函數圖象上升或下降進行描述，得出函數單調性的粗糙定義(圖形表征和語言表征).由此，提供教學內容的圖形所代表的視覺化信息的同時，也說明了有關該教學內容的文本等言語化信息，通過動手操作和語言表述培養學生的動手操作和語言表達能力.

3.3 合作探究 深化概念

問題6從量的角度怎么刻畫“f(x)隨x的增大而增大(或減小)？”

師生活動 共同得出：x的增大可以用x1f(x2)刻畫.

問題7在D內取x1,x2，若x1

師生活動 通過反例，學生認識到取一組、多組滿足x1

問題8在選取x1,x2時，應滿足什么條件才能說明f(x)在D內是增函數？

學生活動 得出x1,x2必須代表區間D上的所有數.

問題9怎樣才能讓x1,x2代表D內所有數呢？

學生活動 得出要使得x1,x2能代表D內所有數，x1,x2必須是D內任意數.

問題10從量的角度怎么刻畫“在區間D上f(x)隨x的增大而增大(或減小)”？

師生活動 任意x1，x2∈D，若當x1f(x2)).

問題11能給出函數單調性的精細化定義嗎？

師生活動 師生共同概括出增函數的“形式化定義”：設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1

圖4 圖5

學生活動 類比增函數定義，寫出減函數的定義.

設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)，則函數f(x)在區間D上是減函數(圖5).[5]

設計意圖由粗略的“描述性定義”到精確的“形式化定義”的思維是認知轉化的關鍵，過程中設置了文字表征、符號表征和圖形表征，目的是激發學習動機，引發積極思考，幫助學生真正理解、內化函數單調性概念.

3.4 運用新知 鞏固概念

例1圖6是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數y=f(x)的單調區間，以及函數y=f(x)的增減性.[5]

圖6

設計意圖借助語言表征，通過圖形直接判斷單調性，鞏固概念，加深理解.

設計意圖回歸單調性定義，利用定義得出證明函數單調性的操作程序：取值→作差→變形→定號→結論，進一步從操作層面表征定義.

3.5 回顧反思 總結提煉

問題12你認為理解函數單調性概念應注意什么？

學生活動 在經歷概念形成及應用過程后，學生對函數單調性概念進一步認識：(1)單調性是一個局部概念；(2)x1，x2應取選定區間的任意值.

設計意圖通過語言表征，讓學生再次理解函數單調性概念.

問題13從數學符號的角度，你能給出函數增減性的等價形式嗎？

師生活動 師生共建增函數的概念域：

函數f(x)在[a,b]上為增函數

??x1，x2∈[a,b]，且x1

??x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；

學生活動 類比增函數的概念域，給出減函數的概念域.

設計意圖通過不同形式的符號表征，在學生的頭腦中形成命題網絡和表象，生成函數單調性的概念域.

問題14在函數單調性學習中涉及哪些數學思想方法？

師生活動 共同梳理單調性概念學習中涉及的數學思想方法.

設計意圖數學思想是對數學內容和方法的本質認識，是對數學內容和方法的進一步抽象和概括.[6]引導學生梳理單調性學習中涉及的數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等思想方法，認識數學思想方法在問題解決中的引領性作用.

4 教學設計反思

基于對數學概念的深度理解，在多元表征理論指導下設計了函數單調性的概念教學.教學過程重視學生的行為參與、情感參與、認知參與，注重概念孕育、形成、發展和完善的整個過程.同時，根據情境與需要設計了多種表征形式(圖7)，有利于學生在數學概念心理表征的不同成分間作出靈活的轉換，從而提高學生的問題表征能力和表征轉換能力，實現對數學概念的深度理解.心理學研究表明，學生對概念的理解具有層次性，概念表征的方式具有多樣性.本文在多元表征理論指導下，概念教學充分關注了學生的認知發展水平，緊扣“理解數學，理解學生，理解教學，理解技術”的教學設計主線，實現教學效果最優化.

5 結束語

數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式.[7]李邦河院士指出：數學根本上是玩概念.因此，加強數學概念教學是提高數學教學質量的一個重要環節.[7]然而在數學概念的教學中，部分教師重結果、輕過程，這不利于數學思維的培養和思想方法的內化.多元表征理論視角下的數學教學十分注重數學概念的建構過程，這無疑為學生深度理解數學概念提供了保障.