在教學設計細節中體悟“數學味”

黃厚忠 (江蘇省鎮江市教育科學研究中心 212008)

劉新春 (江蘇省揚中市教師發展中心 212200)

在平時的教學研究活動中，廣大教師通過聽課、說課、議課等形式加深對數學教學內容、課堂教學設計和教學策略方法的理解，同時進一步提升自身的學科素養和教學素養．但我們也發現，部分教師在課堂教學設計中只重視教學總目標和教學結構的設計，缺乏對教學細節的琢磨，缺少了一點“數學味”，導致數學核心素養像天上的云到處飄，無法扎根.數學核心素養的培養應滲透在具體的教學細節之中，教師不僅要仰望星空瞄準大目標，更要關注細節，對每一個教學行為、每一個知識點，甚至是學生的每一個帶有疑問的眼神進行思考分析，尋找實現教學目標的生長點．本文以“橢圓的標準方程”的教學設計細節為例談談如何思考細節，自然、合理、嚴謹地呈現數學的“原汁原味”．

“橢圓的標準方程”主要內容是從橢圓的定義出發，類比圓的方程的推導，通過建立恰當的直角坐標系，表示橢圓上點的坐標滿足的數量關系——方程，合理化簡推導橢圓的標準方程，研究橢圓的基本性質．在本節內容的教學過程中有許多細節值得推敲，教師的精心設計可以更好地展示數學的本質和魅力，教出一些“數學味”來，也有利于學生更好地理解數學本質，學習自然、優美、透徹的數學．現就本節課的教學細節結合平時教師上課、說課的狀況提出一些思考．

思考1為什么設橢圓的兩焦點F1,F2之間的距離為2c，橢圓上任一點P到F1,F2的距離之和為2a(2a>2c)，而不設F1F2=c，PF1+PF2=a？

許多教師認為這僅僅是為了運算方便，不需要讓學生知道理由．其實這樣的假設至少可以從以下四方面闡述理由：一是建立坐標系后設點方便，避免了用分數表示點的坐標(前提是按標準方程建系)；二是化簡方程時由于根號里均為整式無分數，運算方便；三是a,b,c的幾何意義明晰；四是最終的橢圓方程的形式最簡單，便于通過標準方程研究橢圓的基本性質.如若在推導了標準方程后提出假設F1F2=c，PF1+PF2=a，把設點的坐標、化簡方程、方程的最后形式與標準方程比較，讓學生自己體會如何合理、簡潔地進行運算．在推導雙曲線的標準方程時，學生就會自然而然地想到如何設焦距和實軸長.但是在推導拋物線的標準方程時為什么設焦點到準線的距離為p而不是2p呢？這是因為盡管設為p但拋物線方程的化簡形式并不復雜，而且其結果y2=2px(p>0)已經是整系數形式，如若設焦點到準線的距離為2p，則標準方程為y2=4px(p>0)，系數反而增大，不符合簡單精煉的原則．

抓住這一問題，以小見大，講清道理，學生可以知道數學中的假設是合理的、表達是明白的、結果是簡捷的．

思考2為什么以橢圓的兩焦點F1,F2所在直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標系？

從圓的方程的幾種形式中我們知道，圓在坐標系中的位置不同，圓的方程的形式也不相同，圓的最簡方程是圓心在原點、半徑為R的方程，即x2+y2=R2．橢圓的方程有沒有最簡形式呢？如有，要找到橢圓的最簡單的方程形式，就要建立恰當的直角坐標系，就要遵循簡單、方便、美觀等原則，便于用最少的字母和最簡單的形式表示點的坐標和曲線方程．對橢圓來說，一開始就由圓心類比橢圓中心并不恰當，但反向思考，如若以一個焦點為原點建立直角坐標系，則直觀感覺兩焦點不對稱、不和諧．因此，從焦點的對稱性來看，以兩焦點的中點為原點較好．

對于整式方程來說，如果曲線圖形關于x軸對稱，則曲線方程不含有y的奇次項；如果圖形關于y軸對稱，則方程不含有關于x的奇次項；如果曲線同時關于x軸、y軸對稱，則方程既不含有x的一次項又不含有y的一次項；如果曲線經過原點，則方程不含有常數項．對于橢圓來說，直覺認為它是勻稱的，這為我們建系提供了感性幫助．

這樣的建系方法對于雙曲線來說同樣是簡單的，在建立拋物線的標準方程時也可以再次得到驗證．

怎樣想到要化簡的？這既是直覺(因為形式繁、有根式)又是愿望，直線和圓的方程的形式都比較簡單，不含有根式，我們當然希望橢圓的方程也比較簡單.化簡方程首要的問題是如何去掉根號，許多教師為了節省時間直奔主題，直接告訴學生移一個根號到另一邊平方化簡．如果稍加思考，就會產生許多問題：不移項直接平方行不行？不平方行不行？等式兩邊平方與原等式是否等價變形？化簡方程有哪些策略與方法？化簡到什么程度才是最簡形式？

移項平方，由于等式兩邊都只含有一個根號，看起來比較平衡協調，平方后的項數較少，且次數最高為二次，便于化簡，因而教科書采用了此法．

第二，根據數式化簡的基本要求，盡量不含根號，項數盡可能少，不含有分式，并且與直線的截距式方程、圓的最簡方程類比，不難獲得化簡方程的目標．如果先布置學生推導一個具體的橢圓方程，再啟發學生與直線的截距式方程對比，則對于一般橢圓的標準方程的化簡目標更加明確.數學講推理但也要講道理，步步有理、自然而然才是數學的本質．

第三，各種推導方法如何選用？是每種方法都講，還是只講一種方法？應該根據班級學生的實際和學生在推導過程中出現的方法和問題因勢利導.首先立足于掌握教科書上的方法正確，這是最基本的要求，讓所有學生既掌握一種推導方程的基本方法，又經歷如何進行數式運算、如何采取相應的策略簡化運算過程，在推導過程中提高數式運算和推理論證能力．如果學生基礎較好，可把探究其他方法作為研究性課題交給學生思考交流．

思考4為什么假設a2-c2=b2？

此假設基于以下原因：

(1)a,c均為正數，且a>c，因而a2-c2>0，a2-c2表示一個正數．

(2)在方程中每一個字母的次數都是二次，如設a2-c2=t，則代入方程明顯不協調，也不能準確表達t為正數的特性．

(3)a,c表示距離，b是否也有幾何特征呢？這就很容易聯想到直角三角形，結合圖形OF2=c，PF1+PF2=2a，當PF1=PF2=a時，點P恰好是橢圓與y軸的交點，此時b就可以表示原點到上下頂點的距離．

(4)此假設使橢圓方程更加簡單，還具有對稱性，更便于研究橢圓的性質．

思考5為什么只要把焦點在x軸上的橢圓的標準方程中x,y交換位置就可以得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程？

有的教師教學生猜焦點在x軸上的橢圓的標準方程，說這體現了歸納猜想的思想，這是不對的，這里沒有用到歸納．還有教師說由橢圓的對稱性，只需將x,y交換就可以得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程，這種說法也不妥當，缺乏依據.猜想必須依據已有的事實，而依據橢圓的對稱性并不恰當，因為推導橢圓方程的過程中并不知道橢圓的對稱性，以下對比分析具有合理性．

對比分析兩式的差異，交換兩式之一中x,y的位置就可以得到另一等式，因而猜測其結果可能是交換化簡后的方程中x,y的位置可以得到另一個方程，但這并不能代替推導證明.數學講究嚴謹，讓學生自行推導，既進一步熟練了推導過程，又驗證了自己的判斷，可謂一舉兩得．

教師可從兩個角度加以分析．

思考7為什么用橢圓的標準方程研究橢圓的性質？

圖1

思考8研究橢圓的標準方程及其性質用到哪些數學思想方法？

部分教師對本節內容中隱含的數學思想方法有所忽視，或知之甚少，或無意疏忽，其實解析幾何是代數與幾何的有機結合，是數形結合的經典范例，橢圓的標準方程的各種變形形式無不揭示著相應的幾何性質．類比是解析幾何研究問題的常用方法，本節內容中橢圓與圓的研究方法和性質的類比，后續內容雙曲線與橢圓的方程、性質以及研究方法的類比，整個圓錐曲線知識的類比，無不滲透在每節課的教學之中．方程的思想更是貫穿解析幾何教學始終．橢圓的標準方程的推導過程的等價轉化思想、研究橢圓性質時方程的等價變形、解決與橢圓相關問題時解題過程中的等價轉化思想隨處可見．在課堂教學中舉手投足皆思想，就看教師是否用心去體會、實踐、顯化．