“軸對(duì)稱圖形”教學(xué)：制作、使用“多功能角平分器”*

李明樹(shù) (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

好的學(xué)具在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是幾何教學(xué)中有著重要的作用，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)思維的突破．教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章“軸對(duì)稱圖形”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新制作、使用“多功能角平分器”，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)線段、角、等腰三角形的軸對(duì)稱性的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維欣賞世界、探秘世界的意識(shí)和能力．

1 “多功能角平分器”的制作

1.1 材料準(zhǔn)備

準(zhǔn)備吸管、工字釘若干，2 mm寬彩色細(xì)紙條一根，20 cm長(zhǎng)細(xì)線一根，刻度尺一把，膠水一瓶，剪刀一把，記號(hào)筆一支(圖1)．

圖1

1.2 制作步驟

(1)取吸管兩根，用刻度尺量出15 cm，用記號(hào)筆在兩端做好標(biāo)記(圖2)；

圖2 圖3

(2)用一枚工字釘把兩根吸管的一組標(biāo)記點(diǎn)釘在一起(圖3)；

(3)取吸管兩根，用刻度尺量出10 cm，用記號(hào)筆在兩端做好標(biāo)記(圖4)；

圖4 圖5

(4)用一枚工字釘把兩根吸管的一組標(biāo)記點(diǎn)釘在一起(圖5)；

(5)用兩枚工字釘把四根吸管的剩余兩組標(biāo)記點(diǎn)分別釘在一起(圖6、圖7)；

圖6 圖7

(6)用膠水和2 mm的彩色紙條在四根吸管上標(biāo)記相等刻度(圖8)；

圖8 圖9

(7)調(diào)整相關(guān)彩色紙條位置，得到多功能分角器(圖9).

2 “多功能角平分器”的使用案例

案例1作線段的垂直平分線

操作 已知線段AB(圖10)，可以利用多功能角平分器作線段AB的垂直平分線．調(diào)整多功能角平分器，使連接不相等兩邊的工字釘分別與點(diǎn)A,B重合(圖11)，用記號(hào)筆分別在另外兩個(gè)工字釘?shù)奈恢米鳂?biāo)記C,D,作直線CD，就是線段AB的垂直平分線．

圖10 圖11 圖12

其數(shù)學(xué)模型和簡(jiǎn)要證明如下：如圖12，CA=CB，DA=DB,則直線CD是線段AB的垂直平分線．先證△ACD≌△BCD(SSS)，再證△ACO≌△BCO(SAS)或者△ADO≌△BDO(SAS)．

這樣操作其實(shí)是基于一個(gè)命題：如果一個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．這個(gè)命題的條件是什么，結(jié)論是什么？如何找尋到已知線段AB兩端距離相等的點(diǎn)？找?guī)讉€(gè)這樣的點(diǎn)可以畫(huà)出線段的垂直平分線？一系列的問(wèn)題給學(xué)生帶來(lái)了疑惑．教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生用刻度尺先作出線段AB的中點(diǎn)D，再利用圓規(guī)作以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點(diǎn)C,C1,C2,C3，…(圖13).然后過(guò)C,C1,C2,C3其中任意兩點(diǎn)作直線，即得到線段AB的垂直平分線．學(xué)生作圖的依據(jù)是“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線”的基本事實(shí).那么找哪兩個(gè)點(diǎn)最具有代表性？筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第53頁(yè)“操作”進(jìn)行了再探究.教材安排環(huán)節(jié)如下：

圖13

作法圖形1.分別以A,B為圓心,大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于C,D.2.過(guò)C,D兩點(diǎn)作直線.直線CD就是線段AB的垂直平分線.

教材的意圖是讓學(xué)生通過(guò)思考和操作找到線段兩端距離相等的點(diǎn)，既發(fā)現(xiàn)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，又能夠主動(dòng)利用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出圖14.聯(lián)系作法的步驟可發(fā)現(xiàn)：圖14中AC=CB=BD=DA，即四邊形ACBD是菱形，易證直線CD為線段AB的垂直平分線．

圖14 圖15

為了防止學(xué)生的思考偏向某種模式、幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生更改作法步驟，利用案例1的操作方式：利用多功能角平分器畫(huà)已知線段的垂直平分線，可以找到“線段垂直平分線上的任意兩點(diǎn)”，幫助學(xué)生充分理解線段垂直平分線的判定定理.之后學(xué)生的作圖發(fā)生了變化,不再拘泥于教材固定的作圖順序:如圖15,AC=BC，AD=BD，即四邊形ACBD是箏形，圖中直線CD即為線段AB的垂直平分線.

案例2作已知角的角平分線.

方法1 如圖16,已知∠AOB，利用多功能角平分器作∠AOB的平分線．使多功能角平分器上連接較短兩邊的工字釘與點(diǎn)O重合，較短的兩邊上的另外兩只工字釘分別落在角的兩邊OA,OB上，第四個(gè)工字釘在角的內(nèi)部落點(diǎn)記為點(diǎn)P(圖17)，則OP為∠AOB的角平分線(圖18)．

圖16 圖17

圖18 圖19

數(shù)學(xué)建模如圖19，已知在∠AOB中，點(diǎn)C,D分別在邊OA,OB上，且OC=OD，連結(jié)CP,DP，請(qǐng)說(shuō)明射線OP是∠AOB的角平分線．

簡(jiǎn)證：由多功能角平分器作圖步驟可知OC=OD，PC=PD,由圖可得OP=OP,即可證△OCP≌△ODP(SSS),從而說(shuō)明∠COP=∠DOP．

方法2 如圖16，已知∠AOB，使多功能角平分器上連接較短兩邊的工字釘與點(diǎn)O重合，較短的兩邊分別與角的兩邊OA,OB重合，用記號(hào)筆分別在兩邊OA,OB上標(biāo)記C,D兩點(diǎn)(即OC=OD)(圖20)，利用多功能角平分器的較長(zhǎng)的兩邊重復(fù)上述操作，并標(biāo)記點(diǎn)E,F(即OE=OF)(圖21)，連結(jié)ED,CF交于點(diǎn)P，則OP為∠AOB的角平分線(圖22)．

圖20 圖21

圖22 圖23

數(shù)學(xué)建模如圖23，已知∠AOB中，點(diǎn)E，C在邊OA上，點(diǎn)F,D在邊OB上，線段ED，F(xiàn)C交于點(diǎn)P，請(qǐng)說(shuō)明射線OP是∠AOB的角平分線.

簡(jiǎn)證：先證△ODE≌△OCF(SAS)，然后證△EPC≌△FPD(ASA)，最后證△OPC≌△OPD(SSS)或者△OPE≌△OPF(SSS)．

在教授蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第55頁(yè)的角平分線的判定定理時(shí)，筆者引領(lǐng)學(xué)生利用多功能角平分器使用上述兩個(gè)方法作角平分線，既強(qiáng)化了全等三角形條件的應(yīng)用，又探究了角的軸對(duì)稱性，學(xué)生掌握了多種方法作已知角的角平分線.若繼續(xù)探究下去，還可以有很多新的發(fā)現(xiàn)：連結(jié)EF或CD可以得出OP垂直平分線段EF或CD；甚至可以得出△EPF∽△CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，D，C共圓等結(jié)論．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，這是學(xué)生打好基礎(chǔ)的非常重要的兩個(gè)方面，但只有知識(shí)技能是不夠的，學(xué)生還要學(xué)會(huì)思考，還要去經(jīng)歷、去體驗(yàn).學(xué)生在使用多功能角平分器的過(guò)程中感悟了基本思想、積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在知識(shí)技能這個(gè)基礎(chǔ)上得到發(fā)展，這個(gè)發(fā)展其實(shí)就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考．

案例3探索等腰三角形的軸對(duì)稱性

操作 調(diào)整多功能角平分器，使較短的兩根吸管上的三枚工字釘在同一直線上(圖24)，在連接較長(zhǎng)兩根吸管的工字釘上固定一根細(xì)線，用記號(hào)筆在紙上描出四個(gè)工字釘?shù)奈恢茫奔?xì)線，畫(huà)出等腰△ABC及點(diǎn)D，則直線AD為等腰△ABC底邊上的中線．這個(gè)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？線段AD是底邊上的高、頂角平分線嗎？

圖24 圖25

數(shù)學(xué)建模如圖25，已知在△ABC中，AB=AC，BD=CD,請(qǐng)說(shuō)明∠B=∠C,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.

簡(jiǎn)答：證明△ABD≌△ACD(SSS)即可得到∠B=∠C,∠BAD=∠CAD，易得∠BDA=∠CDA，而∠BDA+∠CDA=180°，所以∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC，而線段AD所在的直線即為等腰三角形的對(duì)稱軸．

3 “多功能角平分器”的其他應(yīng)用案例

既然“多功能角平分器”可以畫(huà)三角形三條邊的垂直平分線，三條垂直平分線的交點(diǎn)即為三角形的“外心”.當(dāng)然還可以輕松畫(huà)出任意三角形三邊的中點(diǎn)，從而畫(huà)出三角形的三條中線，三角形的“重心”就自然凸顯出來(lái)了.利用“多功能角平分器”畫(huà)已知角的角平分線的功能可以畫(huà)出任意三角形三個(gè)內(nèi)(外)角的角平分線，內(nèi)(外)角平分線的交點(diǎn)即為三角形的“內(nèi)(旁)心”．那么如何畫(huà)出任意三角形的三條高線呢？筆者帶領(lǐng)學(xué)生做了嘗試：如圖26，在△ABC中，利用案例1的方法畫(huà)出線段AB的垂直平分線MN，延長(zhǎng)線段AB，利用平移的方法過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，則線段CD為AB邊上的高.同樣地，可以畫(huà)出AC，BC邊的高，三角形三條高所在的直線交于一點(diǎn)，而此交點(diǎn)即為三角形的“垂心”．

圖26 圖27 圖28

4 學(xué)具的教學(xué)價(jià)值

“動(dòng)手實(shí)踐、自主探究”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，要求教師組織學(xué)生親歷“操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證”等活動(dòng)，從而讓他們獲得知識(shí)、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想．如何有效地開(kāi)展操作活動(dòng)，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)操作習(xí)慣，在動(dòng)手實(shí)踐中又能動(dòng)腦思考？多功能角平分器不失為一個(gè)突破口．多功能角平分器作為教學(xué)活動(dòng)的重要載體，發(fā)揮著從形象走向直觀的橋梁作用．首先，學(xué)具結(jié)構(gòu)的巧變促使學(xué)生在操作中進(jìn)行思考．動(dòng)手操作的目的在于讓學(xué)生借助直觀的活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)和反映其思維活動(dòng)，若沒(méi)有思維的參與，動(dòng)手操作就失去了價(jià)值．借助多功能角平分器畫(huà)線段的垂直平分線、畫(huà)角平分線、探索等腰三角形的軸對(duì)稱性及其他應(yīng)用均可促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考．其次，學(xué)具功能的隱蔽促進(jìn)學(xué)生在操作中想象．動(dòng)手實(shí)踐不能停留于實(shí)際操作的表象，目標(biāo)需指向?qū)崿F(xiàn)活動(dòng)的內(nèi)化，活動(dòng)內(nèi)化的方式之一就是想象．如果能在直觀操作的同時(shí)展開(kāi)數(shù)學(xué)想象，往往能更好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，發(fā)展空間觀念．

教師在教學(xué)中要重視學(xué)生解決問(wèn)題的創(chuàng)造性，通過(guò)學(xué)具的制作與使用給學(xué)生提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)、更大的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生把操作與思維聯(lián)系起來(lái)．

編者按：為密切編輯部與中學(xué)的聯(lián)系，本刊編委第22次“走進(jìn)課堂”，于2020年10月21日赴江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)聽(tīng)課交流．揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)是一所年輕的江蘇省四星級(jí)普通高中．學(xué)校秉承“一切為了師生的發(fā)展”的辦學(xué)理念，恪守“守正創(chuàng)新”的校訓(xùn)，強(qiáng)化黨建統(tǒng)領(lǐng)，加快課程改革，完善3Z3F課程體系，致力于打造生態(tài)課堂、詩(shī)意課堂和高效課堂；實(shí)施“三化德育”，注重走特色化、多樣化辦學(xué)之路，積極探索“適合的教育”．近年來(lái)，學(xué)校著力提升辦學(xué)層次和水平，走出了一條“低進(jìn)優(yōu)出”的育人之路．學(xué)校先后被評(píng)為“江蘇省教育系統(tǒng)先進(jìn)集體”“全國(guó)青少年校園足球特色學(xué)校”“江蘇省校園詩(shī)教先進(jìn)單位”“江蘇省青少年特色科學(xué)工作室”“江蘇省智慧校園”“鎮(zhèn)江市教育現(xiàn)代化先進(jìn)學(xué)校”“揚(yáng)中市人民滿意學(xué)校”“揚(yáng)中市高質(zhì)量發(fā)展先進(jìn)集體”等150多項(xiàng)榮譽(yù)稱號(hào)．