新課程背景下深度教學(xué)的實踐與思考

偶偉國 (江蘇省太倉高級中學(xué) 215411)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗．從“雙基”發(fā)展到“四基”，源于兩方面：從數(shù)學(xué)自身來看，“雙基”更多的是對數(shù)學(xué)原理、定理、概念、公式等結(jié)論性知識的反饋，學(xué)習(xí)這些固然重要，但數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于結(jié)論而在于其思想．?dāng)?shù)學(xué)課程不應(yīng)僅僅滿足于教給學(xué)生一些結(jié)論，更要能給學(xué)生以更多數(shù)學(xué)思想和精神的浸潤．從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)來看，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是一個綜合性的、持續(xù)性的發(fā)展過程，它并非單純地通過接受數(shù)學(xué)事實來實現(xiàn)，更多地是需要通過對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和條理化，以及對數(shù)學(xué)知識的自我組織等活動來實現(xiàn)．特別到了高中階段，學(xué)生的知識基礎(chǔ)有所增強(qiáng)，數(shù)學(xué)視野有所擴(kuò)充，自主學(xué)習(xí)的活動、方式趨于多樣，也為數(shù)學(xué)基本思想的感悟和基本活動經(jīng)驗的積累創(chuàng)造了條件．因此，在課程目標(biāo)中提出“四基”既有必要也有可能．

顯然，淺嘗輒止的教學(xué)已經(jīng)不能達(dá)成遞進(jìn)式的轉(zhuǎn)變，深度教學(xué)是一種必然趨勢．所謂深度，簡單理解就是觸及事物底部或本質(zhì)的程度，深度教學(xué)就是觸及教學(xué)的底部和本質(zhì)的教學(xué).學(xué)科、學(xué)生和學(xué)習(xí)是教學(xué)的三個重要支撐點，因而教學(xué)的底部和本質(zhì)應(yīng)圍繞這三個方面，深度教學(xué)就是觸及學(xué)科教材本質(zhì)的教學(xué)，就是觸及學(xué)生心靈、觸及學(xué)習(xí)過程本質(zhì)的教學(xué)．我們對深度教學(xué)的探索實踐就應(yīng)圍繞這三個方面展開．

1 積極構(gòu)建觸及學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)

所謂觸及本質(zhì)，一要體現(xiàn)學(xué)科思想，二要善于充分挖掘概念、定理的內(nèi)涵和外沿.教學(xué)時要通過設(shè)計層層遞進(jìn)的問題串來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，而不是簡單化地教概念、定理并以訓(xùn)練代替知識探究．

以立體幾何教學(xué)為例，幾何直觀、空間想象、數(shù)學(xué)抽象是本質(zhì)，但對于學(xué)生而言，從平面跨越到空間，其認(rèn)知水平的提升不是一蹴而就的，需要在教學(xué)中不斷錘練．

案例1直線與平面平行的判定定理．

先談研究判定定理的必要性，定義判定很難形成有效證據(jù)鏈，所以要探尋便于邏輯推理的方法．在探究教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生感覺很難“探”，一個重要原因在于教師給出的圖形往往比較單一，不容易引發(fā)學(xué)生有效的空間想象．因此，要盡可能多地給出不同形態(tài)的直線與平面平行的情形，即在保持線面平行的形態(tài)下讓直線動、平面不動，讓平面動、直線不動，讓雙方都運動.由此引導(dǎo)學(xué)生觀察不同形態(tài)的圖形蘊含的共性特征，從而挖掘出定理的本質(zhì)．

當(dāng)然，線線平行難探尋的另一原因在于受平面幾何的影響，定理中的兩條線是隔空相望的，沒有支架把它們聯(lián)結(jié)在一起．因此，在探究時有學(xué)生提出如果直線上任意兩點到平面的距離相等，則會有線面平行，而教師則以不便于操作為由回避了．事實上，如果繼續(xù)引導(dǎo)，聯(lián)結(jié)兩個垂足點，即可發(fā)現(xiàn)線線平行關(guān)系．因此，因勢利導(dǎo)在探究教學(xué)中非常關(guān)鍵．

另外，雖然教材對定理證明不作要求，但從培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)來看，這是一個非常好的素材，也是錘煉學(xué)生思維品質(zhì)的一個良好契機(jī)．一方面是正難則反的辯證思想的適時引入，可以揭示反證法的本質(zhì)．另一方面，可以多角度地去探究證明方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維．

2 積極構(gòu)建觸動學(xué)生心靈的教學(xué)

雅斯貝爾斯在《什么是教育》中指出：“訓(xùn)練是一種心靈相隔離的活動，教育則是人與人精神相契合、文化得以傳遞的活動，真正的教育是人對人的主體間靈肉交流的活動．”如果教學(xué)不能觸及學(xué)生心靈，各種知識、技能就難以與學(xué)生的心靈相遇、交流和貫通，學(xué)生便難以獲得智慧的提升．要讓學(xué)生全身心地參與到教學(xué)中，就要把學(xué)習(xí)的自主權(quán)還給學(xué)生，鼓勵他們積極探索、相互質(zhì)疑問難、相互學(xué)習(xí)欣賞，在這樣的課堂中，有思辨、有爭論、有掌聲，充滿活力，更是精彩紛呈的.只要你給學(xué)生機(jī)會，他們就會還你驚喜．

這一問題貌似簡單，但很難找到有效突破口，而學(xué)生的交流展示卻非常熱烈，主要提供了如下三種不同的處理策略．

圖1

這三種方法體現(xiàn)了解決向量問題的兩大策略：一是建系，利用坐標(biāo)法轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，而該法關(guān)鍵要合理建系，便于代數(shù)運算，解法1體現(xiàn)了其優(yōu)勢；解法2及解法3利用數(shù)量積的向量運算公式來探尋線段長度．學(xué)生談及解題策略時說到，借助垂直關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只要利用數(shù)量積的幾何意義，即投影思想，就能使問題迎刃而解．他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：解法2與解法3的投影方向不同，但本質(zhì)是一致的．一語道破天機(jī)，話音未落，學(xué)生們即刻報以熱烈的掌聲．課堂上不俗的表現(xiàn)和來自伙伴們喝彩的掌聲必將觸動學(xué)子的心弦，也將成為他學(xué)習(xí)研究的不竭動力，在他今后的人生中留下一段美好記憶．

3 積極構(gòu)建聚焦學(xué)習(xí)過程本質(zhì)的教學(xué)

深度教學(xué)必須是聚焦學(xué)習(xí)過程本質(zhì)的教學(xué)，即聚焦于學(xué)習(xí)的建構(gòu)性過程．深度教學(xué)的本質(zhì)不是“給予”而是“追尋”，其實質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)地建構(gòu)．持續(xù)建構(gòu)是一個在不同層次上持續(xù)向縱深推進(jìn)的建構(gòu)過程，它需要激起學(xué)生興趣、情感和思維的深度參與．為此，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展水平，為學(xué)生設(shè)計出漸次提升的學(xué)習(xí)過程．

案例3三次函數(shù)切線與三次函數(shù)圖象有幾個交點？

這是一個類比探究題，是進(jìn)一步深入研究三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的一個問題．它的源起是二次函數(shù)的切線與二次函數(shù)圖象只有一個交點.那么三次函數(shù)是否一致呢？

面對該問題，學(xué)生們大都畫圖觀察，發(fā)現(xiàn)好像變成了兩個交點．有學(xué)生提出疑問：有一個交點的情形嗎？片刻后，學(xué)生舉例：函數(shù)y=x3在原點處的切線，該切線與y=x3的圖象只有一個交點．進(jìn)一步需要探究的是為什么一般三次函數(shù)的切線與三次函數(shù)圖象有兩個交點或一個交點，似乎與原有的切線概念不一致了？如何研究？有學(xué)生建議從代數(shù)角度入手．

問題轉(zhuǎn)化為：三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d與其在點(m,f(m))處切線的交點個數(shù)是多少？

進(jìn)一步追問：三次函數(shù)圖象的切線與二次函數(shù)圖象的切線的異同點是什么？

追問的目的在于，不僅要讓學(xué)生對該問題的本質(zhì)有更清晰的認(rèn)識，更意在傳遞這樣一個事實：即新舊知識之間都有著必然的聯(lián)系，關(guān)鍵在于挖掘．

至此，問題研究的目標(biāo)應(yīng)已達(dá)成，但從培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的角度，還可以繼續(xù)向縱深推進(jìn)，啟發(fā)學(xué)生類比思考：如果是四次函數(shù)、五次函數(shù)的切線，情況又是如何的呢？事實上，基于上述研究，學(xué)生已不難推理得到結(jié)論：即四次函數(shù)的切線與其圖象一般有三個交點，切點處是重根；同理，五次函數(shù)的切線與其圖象一般有四個交點，切點處是重根．而且進(jìn)一步可以類推到n次函數(shù)的情形．這樣的類推，對學(xué)生推理素養(yǎng)的培養(yǎng)是有價值的．而其潛在的價值則可能意想不到．

本題初看感覺無從下手，難點在于一方面要研究四次函數(shù)與一次函數(shù)之間的不等恒成立關(guān)系，另一方面要研究一次函數(shù)與二次函數(shù)之間的不等恒成立關(guān)系．按常理，先研究直線與二次曲線，但由于一次函數(shù)系數(shù)比較復(fù)雜，很難著手解決．而細(xì)究一次函數(shù)的系數(shù)與四次函數(shù)的關(guān)系，可以驚奇地發(fā)現(xiàn)原來這是四次函數(shù)在點(t,f(t))處的切線，而利用四次函數(shù)與其切線在切點處是重根這一重要性質(zhì)，就不難尋找解題的突破口了．

四次函數(shù)在平時教學(xué)中基本不作要求，但可以借助對三次函數(shù)的研究來進(jìn)行類比研究．因此，本題就是在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)．而素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)是浸潤式的，應(yīng)始終貫穿于平時的教學(xué)中，尤其要善于利用好研究素材，讓教學(xué)真正成為持續(xù)深度推進(jìn)的建構(gòu)過程．也許，在能力和素養(yǎng)提升的同時，還會有意外的收獲．

總之，深度教學(xué)契合新課程提出的新要求，達(dá)成的前提是教師要對教材、教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平有深度的研究.我們要精心設(shè)計教學(xué)，圍繞深度教學(xué)的三個方面來精準(zhǔn)推進(jìn)教學(xué)，從而讓學(xué)習(xí)真實且有效，讓學(xué)生在掌握知識的同時提高能力、提升學(xué)科素養(yǎng)水平．