發展直觀想象能力 促進初高中教學銜接

莊志紅 (江蘇省鎮江市教育科學研究中心 212008)

學科核心素養附著在知識本體上，在問題的解決中顯現，但歸根結底是直接指向數學的本質，所以說發展學科核心素養不僅不會受到各個學段的知識的限制，而且還將成為實現學段間有效銜接的關鍵．作為初中教師，我們應立足《義務教育數學課程標準(2011年版)》，著力發展學科核心素養，使之成為學生后續發展的銜接點和推進力．直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養．[1]本文想談一談通過發展學生的直觀想象能力促進初高中教學銜接．

1 著力打好“直觀養成”的基石

直觀想象是《普通高中數學課程標準(實驗)》中“空間想象”和《義務教育數學課程標準(2011年版)》中所提及的空間觀念、幾何直觀的融合與凝練，是從幾何學的視角——幾何直觀、空間想象、空間形式、圖形等進行的描述，凸顯了直觀想象的幾何特征．在教學時，應當給學生足夠的時空進行觀察、閱讀和數學實驗等數學活動，為“直觀養成”奠定基石．

1.1 觀察現實世界，增強直觀感悟

數學來源于現實世界，也是對現實世界的抽象，教學中應借助現實情境和實物等幫助學生理解數學．比如，七年級學習“數軸”時，教學中可呈現一支溫度計(圖1)，使學生能直觀感受到用一條帶有刻度和“臨界點”的直線就可以表示數值，當規定了方向后就抽象出了數軸.同時，也引導學生發現數軸不僅可以水平放置，還可以豎直放置，單支數軸上的點可以表示一個數值，為后續平面直角坐標系以及高中階段空間直角坐標系的學習打下感性基礎．又比如，方程是數學中的天平(圖2)，是對互為等量關系的一類數學表達；從加油站的儀表盤中能直觀看到加入的油量和金額這兩個互相依存的變量(圖3)，函數就是這兩個量之間依存關系的一類數學表達.這些情境的創設，旨在培養學生的直觀感受，為今后的學習預埋了伏筆．

圖1 圖2 圖3

1.2 加強幾何作圖，培養直觀想象

初中學生在學習平面幾何時，接觸的多是現成的具體圖形，這些標準的圖形雖直觀卻也會固化想象.因而適當增加幾何作圖，有助于學生從運動變化的維度看問題．

例如，在學習了“如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等、對應角相等”后，可以設置各種作圖任務探索三角形全等的條件．如用三角板作△ABC，使AB=4 cm，∠B=60°，然后請同座位的兩位學生對比他們所作的三角形是否全等.學生從作圖很直觀地發現點C的不確定性帶來了不一樣的三角形.要保證全班學生作出的三角形都一模一樣(也就是三角形是全等的，是唯一確定的)，就是要確定C點的位置，很自然地就得到“邊角邊”“角角邊”“角邊角”.特別地，點C在運動的過程中還會出現兩個特殊的位置(∠C=90°，∠A=90°，圖5)．再進一步提出問題思考：給定邊長AC的取值分別為2 cm,3.5 cm,5 cm，能否作出全等的三角形？

圖4 圖5

學生通過畫圖(圖6～圖8)操作，不難想象并得出：如果兩個三角形的兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，那么這兩個三角形不一定全等．這個“操作性反應”在高中階段正弦定理的學習中還會自然產生．

圖6 圖7 圖8

圖9

1.3 動手操作實驗，發展想象能力

數學實驗是通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等)，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作作為特征的數學驗證或探究活動．[2]從發展學生想象能力的角度看，數學實驗有著非常好的“操作性反應”的刺激效果，這是因為當學生在設計或完成一項實驗任務時，往往需要在現實與數學中切換思維，一般而言是先有了想象后的結果，再將“思考”轉化為“操作”，達到“思行合一”．因此，在初中數學教學中要充分挖掘學科實驗的育人價值．

例如，實驗主題“拼圖”．

操作與思考1 如圖10，能否用5張這樣的三角形紙片ABC拼成一個內外都是正五邊形的圖形？

圖10 圖11

操作與思考2 圖11是我們日常熟悉的三角尺，用兩副這樣的三角尺拼成一個含有75°角的平行四邊形．

在活動1中，學生通過想象畫出正五邊形ABDEF(圖12)，并根據圖形的幾何特征得到：只有當三角形紙片的兩個內角滿足和為108°時，可以拼成正五邊形．

圖12 圖13

這樣的實驗操作正是利用了工具的直觀性完成對未知結果的想象，并產生新的認識和方法．

2 強化拓展“直觀思維”的路徑

提升學生的直觀想象能力，重要的依托就是幾何，也就是圖形化的表達方式．借助幾何的表達方式，可以直觀地進行數學思考與想象，將抽象的概念內涵形象化、具體化，引導學生更好地理解概念，構建知識體系，促進學生從“不自覺”的直觀走向“自覺”的直觀，從而拓展“直觀思維”的路徑．

2.1 強化螺旋上升的單向思維能力

螺旋上升不是機械重復的訓練，更多的是遵循知識發生發展的邏輯順序和學生認知水平的發展規律不斷提升．例如角是初中階段最常見的一個基本圖形，可以通過對教材進行梳理，形成若干條單向思維的訓練主題．

第一次操作是用量角器度量角度，將∠AOB的頂點放在中心位置，一邊與0刻度線OC重合(圖14)，觀察到點D與點C在量角器的邊緣弧上，幫助學生直觀形成了尺規作∠A′O′B′=∠AOB的方法．

圖14

第二次操作可以安排在銳角三角函數的學習中．我們知道函數有兩個本質屬性：一個變量隨另一個變量的確定而確定，隨它的變化而變化．此時可借助量角器的直觀，隨著銳角θ的值增大，tanθ的值隨之而增大(圖15);同樣，利用圖16中的量角器，可直觀理解銳角的正弦函數和余弦函數．這其中蘊含了三角函數線的雛形(圖17)．

圖15 圖16

圖17 圖18

第三次操作是高中階段學習弧度制時，將量角器的平角(π)十二等分(圖18)，增強學生對一些特殊角的弧度數與角度數關系的直觀感受．

通過對量角器的直觀的不斷認識和運用，在今后高中相關知識的學習中將量角器抽象為一個單位圓時，對學生而言就會覺得自然親切、印象深刻．教學中應梳理教材，圍繞“主線”逐步強化，促進學生對直觀形成深刻的“條件反射”．

2.2 培養數形結合的雙向思維能力

數學是研究數量關系和空間形式的科學，因此數學里的直觀多來自于數量關系的結構特征或圖形的位置特征．對學生不斷強化關注數與形的相互轉化，形成“由數想形、以形助數”的條件反射．

(1)借助數式的結構特征展開形的想象

學生的數感和符號意識都是操作性反應，因此在學習“數與代數”的主干內容中要不斷強化，促進學生自覺地“由數想形”．

學生在初中階段接觸的函數，它們的表達式蘊含了豐富的信息，像二次函數的三種常見的表達式y=ax2+bx+c(a≠0)，y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)，y=a(x-h)2+k(a≠0)中的數值a,b,c,x1,x2,h,k都有著特定的幾何意義，教師應不斷提醒學生，做到能根據數量的結構特征想象并畫出形的“概貌”，使得研究對象變得直觀、具體而全面．例如“拋物線y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)過點A(m,3),B(n,3)兩點”，這樣的語境中含有函數表達式的結構特征，將其轉化為y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1，并結合A(m,3),B(n,3)兩點縱坐標的數值特征，可以想象并畫出拋物線的大致形狀(圖19).進一步還能從圖象的位置特征直觀看出線段CD的長為4.一旦有了“形”，這個拋物線的所有性狀都變得具體而直觀．

圖19

這種“由數想形”的直觀思維在問題解決中很常見．如2020年山東卷第10題題干“若定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減，且f(2)=0”中，若能根據“數”的語言迅速轉化并描繪出函數的大致圖象，問題便迎刃而解．

事實上，“數與代數”中的數、式、方程、不等式、函數，原本就是客觀世界的抽象和直觀表達，教學中應對學生反復強化，發展學生的數感和符號意識，生成“由數想形”的直觀思維．

(2)借助圖形的直觀特征生成數的表達

幫助學生理解算理、掌握算法是培養運算能力的關鍵.代數中的很多公式和結論并沒有通過邏輯推理得到，但是可以借助圖形的幾何直觀幫助理解，體現“以形助數”的價值．

圖20

3 結語

初高中的知識模塊看似獨立，卻有著密切的關聯性，這種關聯歸根結底是能力的關聯、素養的關聯．應讓學科素養在我們的教與學中落地生根，煥發出旺盛的生命力，使學習成為一種“有機”的生長．