初中數(shù)學(xué)“動點(diǎn)問題”的解題指導(dǎo)

林康平

【摘 要】 動點(diǎn)問題一直是困擾教師和學(xué)生的主要題型，它蘊(yùn)含諸多的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的解題技巧與能力有一定的要求。本文筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐分析了初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題，并在此基礎(chǔ)上提出了具體的教學(xué)措施。

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);動點(diǎn)問題;解題指導(dǎo)

“動點(diǎn)問題”是幾何教學(xué)的重點(diǎn)，主要以運(yùn)動的觀點(diǎn)來探究圖形的變化，這類型題目考查的是學(xué)生對知識運(yùn)用的靈活性，可以真實(shí)地反映學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和理解能力，是一種開放性題型。下面本文就以動點(diǎn)問題這一關(guān)鍵詞進(jìn)行具體說明。

一、初中動點(diǎn)問題教學(xué)

動點(diǎn)問題涉及的知識范圍廣，而且包含著眾多的數(shù)學(xué)思想。對初中階段的學(xué)生來講，這部分內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)更直接、更明確，是對學(xué)生數(shù)學(xué)思想和分析問題能力的考查。此外，在動點(diǎn)問題的教學(xué)中，對學(xué)生也提出了一定的要求，不僅要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，更要具備一定的邏輯思維，針對具體問題深入分析，以對癥下藥。

二、初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題指導(dǎo)

1.以動待靜，明確題目中的變與不變

以動待靜就是在圖形不斷變化過程中明確不變量。在初中動點(diǎn)問題的解答中存在很多不變因素，所以在解決動點(diǎn)問題的過程中，一定要認(rèn)真觀察、找尋變量和不變量的關(guān)系，如此才能明確問題，找到解題思路。

例1：如圖1，已知矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位的長度向A點(diǎn)方向移動，與此同時，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿著射線CD方向以每秒2個單位的速度移動，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)處在一條直線的時候，點(diǎn)E和點(diǎn)F停止運(yùn)動。設(shè)點(diǎn)E的移動時間為t（秒），試求當(dāng)t為何值的時候，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動。

例題分析：在這道題目中，無論點(diǎn)E和點(diǎn)F怎樣運(yùn)動，ED都平行于BC，由此可以得到兩個相似三角形，以此開展下面的解答：當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線的時候，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，從題目當(dāng)中可以明確知道：ED=t，BC=8，F(xiàn)D=2t-4，F(xiàn)C=2t。因為ED∥BC，所以△FED∽△FBC，由此得到，進(jìn)一步得出，由此得出t=4。

2.以動制動，用函數(shù)思想來解決問題

以動制動主要是借助函數(shù)的思想來描述動點(diǎn)的運(yùn)動變化情況，通過對函數(shù)圖像的研究和分析，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程，以實(shí)現(xiàn)解題的最終目的。

例2：在如圖2所示的正方形ABCD中，其邊長為4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿E→A→D→C的路線移動，到C點(diǎn)停止運(yùn)動。假設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為x，三角形CPE的面積為y，則下面哪個圖像能夠反映y和x的函數(shù)關(guān)系式：（）。

例題分析：從題意中可以知道，隨著點(diǎn)P位置的變化，△CPE的面積也會出現(xiàn)變化。從題目中可以得出：點(diǎn)P和點(diǎn)E重合的時候，△CPE的面積為0，當(dāng)點(diǎn)P在EA上運(yùn)動的時候，△CPE的高BC不變，其面積是x的一次函數(shù)，會隨著x的增大而變大，當(dāng)x=2時，面積最大為4;當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動的時候，△CPE的底邊EC不變，則面積是x的一次函數(shù)，面積隨x的增大而不斷增大，當(dāng)x=6時，最大面積為8;點(diǎn)P在DC邊上運(yùn)動的時候，△CPE的底邊EC不變，則面積是x的一次函數(shù)，面積隨x的增大而不斷減小，最小面積為0，所以選C。

3.動靜互相轉(zhuǎn)化，深刻把握運(yùn)動中的特殊位置

當(dāng)數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題為求最大或最小值的時候，一般動點(diǎn)都在這些特殊位置中。動靜的互相轉(zhuǎn)化，抓住題目中隱含的圖形變化中靜下來的時刻，將特殊問題歸于一般問題，進(jìn)而抓住動靜的聯(lián)系。在初中數(shù)學(xué)的動點(diǎn)問題解答中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采取逆向思維來尋求條件，從特殊到一般抓住解題的關(guān)鍵，由此優(yōu)化解題過程。

例3：如圖3，點(diǎn)P為半圓直徑AB上的一個動點(diǎn)，C為半圓的中點(diǎn)，D為弧AC的三等分點(diǎn)，若AB=2，則PC+PD的最短距離為多少？

例題分析：從題目中可以知道，AB的值是固定不變的，而PC和PD的長度卻是不斷變化的，由此可以尋找點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E，連接DE交AB于P，此時PC+PD的距離最短，并且PC+PD=PE+PD=DE，再根據(jù)C為半圓的中點(diǎn)，D為弧AC的三等分點(diǎn)，由此可以得到弧長CD的度數(shù)為30o，角CDE為90o，由此便可以得出PC+PD的最短距離。

動點(diǎn)問題涉及的知識點(diǎn)，對學(xué)生的能力有一定的要求，不僅可以綜合考查學(xué)生的知識掌握情況，還能及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，以開展針對性教學(xué)。在解答動點(diǎn)問題的時候，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察和分析，找出題目中的變與不變，把握運(yùn)動特殊位置關(guān)系，以有效轉(zhuǎn)化，解決數(shù)學(xué)問題。

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