信息技術助力“直觀想象”核心素養的提升

李嬋

【摘要】直觀想象能力是促進學生發現并提出數學問題、探究總結數學結論和解決實際數學問題的重要核心素養。本文結合現代信息技術，系統分析和反思“雙曲線及其標準方程”的教學過程，探究了高中數學教學中提升學生直觀想象核心素養的策略。

【關鍵詞】信息技術;直觀想象;核心素養

可視化教學的發展有效加深了學生對相關知識的理解，但在具體的教學實踐中，可視化教學受教學設備、課件、課時等因素的制約，發展現狀不容樂觀。同時，有相當數量的學生借助“直觀想象”探索問題的意識比較薄弱，難以應用直觀的方式有效將抽象、晦澀的概念、公式、定理轉化為直觀、生動的圖式，缺乏直觀想象核心素養。因此，結合現代信息技術，系統分析和反思“雙曲線及其標準方程”教學過程，探究高中數學直觀想象核心素養培養策略具有重要的意義。

一、教學設計

作為高中階段圓錐曲線之一的雙曲線，對學生體會坐標法的重要應用，利用方程討論曲線性質，借助直觀圖形培養學生發現、分析和解決問題的能力具有重要的意義。同時，傳統黑板所展示的軌跡數量有限，導致學生難以理解“差的絕對值”“0<2a<2c”等關鍵因素，無法形成理想的學習效果。而借助現代信息技術，教師可通過多次演示、試驗，有效化解教學難點，體現教學重點，其教學過程設計如下。

1.創設情境，感知問題

為了促使學生在直觀情境中親身經歷雙曲線的形成過程，筆者在課前讓學生提前準備好拉鏈、紙板和圖釘，并按照如圖1、圖2所示的方法畫出軌跡，即在拉鏈的兩條邊上各取一個點，然后用圖釘將其固定在紙板上，將筆尖放置在點M 處;最后，通過不斷閉合和拉開拉鏈形成一條曲線，要求學生結合所畫圖形，得出動點M滿足|MF1|-|MF2|=|F1F2|或者|MF2|-|MF1|=|F1F2|。

在此基礎上，筆者引入本節課程所學內容，即將上述兩條曲線合起來所形成的曲線就是雙曲線，并借助多媒體呈現出雙曲線型自然通風冷卻塔、法拉利主題公園等雙曲線實物模型。接著，為了體現數形結合的思想與方法，啟發學生發現橢圓與雙曲線之間的內在聯系，筆者要求學生探究以下問題。

如圖3所示，已知圓O的半徑為r，點A為圓內的一個定點，點P為圓上的任意一點，若線段AP的垂直平分線交于OP上的點Q，則觀察點Q的軌跡是什么？若點A為圓外的一個定點，則觀察點Q軌跡的變化情況是怎樣的？

2.應用圖像表象，理解問題

為了促使學生完成從初步認識到抽象思維的跨越，有效將復雜的軌跡問題轉變為直觀、可感的動態圖形，筆者要求學生思考以下問題：（1）對比橢圓定義，你認為在描述雙曲線定義中，應該注意哪些事項？（2）雙曲線定義中明確規定0<2a<2c，若2a=2c、2a>2c、2a=0時，試猜想點M的軌跡可能是什么，要求學生以小組為單位，通過賦值充分驗證自己的猜想，如2a=2c=6.72厘米，如圖4所示，并不斷變化2a、2c的具體數值，總結歸納出如下探究結果。

當2a=2c時，則點M的軌跡為兩射線;

當2a>2c時，則點M的軌跡不存在;

當2a<2c時，則點M的軌跡為雙曲線;

當2a=0時，則點M的軌跡為線段垂直平分線。

3.利用動態圖形，分析問題

為了力求雙曲線方程的表達形式更加簡潔明了，促使學生認真琢磨坐標系的位置特點，筆者要求學生借助計算機，隨意拖動點P的位置，觀察PF1-PF2的絕對值數值是否發生變化;同時，類比橢圓標準方程建立過程，按照建系、設點、列式、化簡的步驟，探究雙曲線標準方程。此外，為了強化所學知識，借助圖形直觀探究問題解決的思路，筆者設計了如下探究題目，要求學生自己分析。

已知方程x2+ky2=4+k（k∈R），試求該方程所表示的曲線。

4.建立數學模型，解決問題

為了有效將復雜問題轉化為簡單問題，提高學生應用圖形和空間想象思考問題的水平，筆者要求學生在解決如下問題的過程中利用數學模型從多個角度對問題進行探究。

例如，如圖5所示，已知梯形ABCD，|MF2|=2|CD|，，某一雙曲線以A、B為焦點，并且雙曲線經過點C、D、E三點，試求當時，則該雙曲線離心率e的取值范圍。

二、教學反思

基于以上分析，培養學生的直觀想象核心素養能夠促進學生不斷發現和提出數學問題，加深學生對所學知識的理解和記憶。

1.在情境創設中感知數學問題

數學問題產生于數學情境。在信息技術下的高中數學直觀想象核心素養情境創設中，教師可創設圖形直觀情境，通過一些簡潔明了的圖形表征，刺激學生對問題的突出要素進行感知，并且圖形直觀情境還舍去了與問題本質無關的屬性，有效減少了學生認知時的記憶負荷。同時，數學理解的發生都始于具體的數學探究活動。在學生遇到一些抽象的問題時，教師應創設操作活動情境，促使學生通過實驗、動手操作、探究分析、合作交流等方式，操作和修正自己制作的模型來探究問題。

2.在應用圖形表象中理解數學問題

教師應啟發學生尋找表象之間的共性和區別，對零散表象進行分析歸類和精加工，及時引導學生借助淺層表象理解抽象的問題和概念。僅僅通過淺層表象理解問題的內涵是不夠的，教師還需要引導學生對問題進行延伸和拓展，尋求該問題與其他問題之間的關系。由于傳統教學中無法呈現復雜的圖形與圖形轉換的過程，為了促使學生了解深層表象，教師應及時引入信息技術，幫助學生完成構建淺層表象之間的聯系，促使學生借助直觀化的深層表象圖形理解問題之間的關系。此外，學生還可以通過操作圖形表象理解問題內部結構。在具體教學過程中，教師還應應用信息技術，通過軟件所攜帶的度量距離、標記向量、移動、旋轉、改變參數等功能，觀察隨之改變的其他量，幫助學生進一步激活、聯想與轉換表象內部元素，多角度理解所呈現的問題。

3.利用動態圖形分析數學問題

教師應借助動態圖形，讓學生能夠看到關鍵元素變化時，其他因素如何變化，從而使學生在“變”中知“不變”，對相關問題描述得更加精確，更清晰地認識到問題的歸類。同時，為了尋找本質概括規律，啟發學生對問題的本質進行描述，教師應借助動態圖形，將若干問題同時呈現在一個圖形中，在“動”中覓“定”，從而促使學生理解所呈現問題之間內在的聯系法則。

4.應用模型解決數學問題

數學模型是數學問題的載體。在數學教學中借助數學模型解決問題，能夠將復雜問題轉化成簡單的問題，將所要研究的問題直接以數學圖形的方式呈現出來，從而有效提高學生運用圖形和空間想象思索問題的水平。因此，教師應通過建立幾何模型、實物模型，將代數問題轉化為幾何問題，或將煩瑣的運算過程轉化為實際的操作活動，進而啟發學生從幾何的角度或者是對模型直接實驗，有效解決數學問題。

總之，隨著可視化教學的發展，教師應充分利用現代信息技術，將傳統解題方式和圖形相結合，促使學生對繁雜的數學問題進行感知、理解、分析和總結。只有這樣，才能將復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，有效提高學生的直觀想象核心素養。

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