高等數學中關于格林公式需注意的問題

季佳梁

（上海工程技術大學 數理與統計學院，上海 201620）

第二類曲線積分在物理上有廣泛的應用．在高等數學和數學分析教學中，第二類曲線積分以及格林公式既是重點也是難點．正確地計算第二類平面曲線積分不僅是本科生必須熟練掌握的，也是全國碩士研究生入學考試中的重點內容．本文比較全面地歸納了應用格林公式求解第二類曲線積分時應該注意的問題．

應用格林公式求解第二類曲線積分時，首先應考察曲線積分是否滿足格林公式的條件，即曲線是否封閉，能夠圍成一個閉區域；被積函數在該閉區域上是否存在一階連續偏導數；曲線是否為閉區域的正向邊界．若上述條件不滿足，則需要用添輔助線等方法預處理，或者采用其他方法來計算曲線積分．

因此，首選考慮平面上曲線積分與路徑無關以及格林公式來求解該問題．但題中所給曲線并沒有圍成封閉區域，所以必須添加輔助線使得曲線封閉．然而，此處若考慮不仔細，極易給出錯誤的過程與答案．

錯解一：取C1:y=0，x:2→?2. 則

分析：上述解法錯在輔助線的添加．因為輔助線包含點(0，0)，而被積函數P(x，y)和Q(x，y)在點(0，0)處無定義．因此，曲線積分無意義，后續計算也就沒有意義了．

分析：上述解法還是錯在輔助線的添加．因為使用格林公式時函數被積函數P(x，y)和Q(x，y)必須在C2與C所圍區域D2上具有一階連續偏導數[1]．本題中點(0，0)包含在區域D2內，P(x，y)和Q(x，y)在點(0，0)處無定義，故在點(0，0)處也不具有一階連續偏導數．所以，不滿足格林公式的使用條件．

分析：在上述解法中，雖然C3與C所圍區域D3中沒有點(0，0)，且被積函數P(x，y)和Q(x，y)在區域D3上具有一階連續偏導數，然而C3與C所構成的邊界不是區域D3的正向邊界，故不滿足格林公式的應用 條件．

從上面的例子我們可以看到，應用格林公式時，被積函數P(x，y)和Q(x，y)必須在閉區域D上具有一階連續偏導數．如果在區域D上含有奇點，那么要把奇點挖去，在挖去奇點的復連通區域上再應用格林公式，而挖奇點的一般原則是根據被積函數的特征來進行．

例2 已知f(x，y)連續，求曲線積分

其中C是單位圓x2+y2=1，取逆時針方向．

分析：上述解題過程無法得到最后的結果．從題中可知，對于曲線積分，曲線封閉且為閉區域D的正向邊界．但根據題目條件僅知f(x，y)連續，故被積函數P(x，y)和Q(x，y)在區域D上是否具有一階連續偏導數是不能確定的，因此不滿足格林公式的應用條件[2]．所以直接應用格林公式是錯誤的，需要采用其他方法來計算這個曲線積分．

正解：對于C上任意一點(x，y)，在該點處的切向量為(-y，x)，則

通過上面例題的分析，學生要會熟練靈活地運用格林公式求解第二類曲線積分，必須對相關的條件與結論全面地了解、掌握，在學習過程中多加練習．另一方面，在教學過程中，教師要在課堂中多與學生交流互動，更加全面地了解學生的情況．課堂上例題的選取也是教師需要考慮的問題，應盡量做到知識點的覆蓋．而且，教師要及時對易錯點進行探究、分析和講評，培養學生發現問題、解決問題的 能力.