一類λ～k數列解的情況的探究
——2020年高考江蘇卷第20題的探究

廣東省中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

2020年高考江蘇卷第20 題給出了“λ ～k”數列的定義,以數列為背景考察學生,該題極具創新性與探究性,筆者對該題做了探究,現將探究結果展示如下,望同行批評指正.

一、試題再現

真題(2020年高考江蘇卷第20 題)已知數列?+)的首項a1=1,前n項和為Sn.設λ與k是常數,若對一切正整數n,均有成立,則稱此數列為“λ ～k”數列.

(1)若等差數列{an}是“λ ～1”數列,求λ的值;

(2)若數列{an}是數列,且an ＞0,求數列{an}的通項公式;

(3)對于給定的λ,是否存在三個不同的數列{an}為“λ ～3”數列,且an≥0? 若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

二、試題解法探討與試題評析

第1,2 問的解答較為容易,留給讀者完成.下面著重探討第3 問的解法.

解法1設各項非負的數列{an}(n∈?+)為“λ ～3”數列,則

即

因為an≥0,而a1=1,所以Sn+1≥Sn ＞0,則

①若λ≤0,則由cn≥1 可得(cn ?1)3≥0,λ3(c3n ?1)≤0,故只有一解為cn=1,此時=1,由S1=a1=1 得Sn=1,故只有一個數列,且an=可以化為:

②若λ=1,則方程(?)只有一解為cn=1,由①得只有一個數列,且an=

③若λ ＞1,則1?λ3＜0,?(2 +λ3)＜0,故故方程(?)只有一解為cn=1.由①得只有一個數列,且an=④若0＜λ ＜1,

結合S1=a1=1,且an≥ 0 我們可以構造如下3 個數列:Sn=1 或Sn=或對應的通項分別為:an=或an=

綜上所述,能存在三個各項非負的數列{an}為“λ ～3”數列,λ的取值范圍是0＜λ ＜1.

點評該題的3 個問設計得很好,層層遞進,不斷深入;第三問綜合性較強,很好的考察了學生的推理、轉化與綜合運用數學知識探究與解決問題的能力.

第三問的難點在于學生對數列的個數與方程的解的個數之間關系的探索,從第(2)問得滿足題目的數列只有一個數列,受此影響考生容易陷入一個誤解,那就是方程有至少有3 個解,才會產……