2020年高考全國卷導(dǎo)數(shù)壓軸題解法分析及備考建議

湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)(418000) 高 用

1 試題的求解與評析

題目1(2020 高考全國1 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x.

(1)當(dāng)a=1 時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時,f(x)≥求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=1 時,f(x)=ex+x2?x,則f′(x)=ex+2x ?1,因?yàn)閒′(x)在? 上單調(diào)遞增,而f′(0)=0,所以當(dāng)x∈(?∞,0)時,f′(x)＜0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)＞0,故f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)解法1當(dāng)x≥0 時,f(x)≥+1,即ex+ax2?x≥+1,顯然,當(dāng)x ＞0 時,上不等式成立.當(dāng)x ＞0 時,不等式等價于,令g(x)=x ＞0,則

令h(x)=x3?2x ?4?2(x ?2)ex,x ＞0,則h′(x)=3x2?2?2(x ?1)ex,所以h′′(x)=6x ?2xex=2x(3?ex),由h′′(x)＞0,解得0＜x ＜ln 3,所以h′(x)在(0,ln 3)上單調(diào)遞增,在(ln 3,+∞)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x∈(0,ln 3)時,h′(x)＞h′(0)=0,而h′(2)=2(5?e2)＜0,所以h′(x)在(ln 3,+∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0,且x0∈(ln 3,2),使得當(dāng)x∈(ln 3,x0)時,h′(x)＞0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,h′(x)＜0,所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.從而當(dāng)x∈(0,x0)時,h(x)＞h(0)=0,而h(2)=0,則x=2 是h(x)的唯一零點(diǎn),且當(dāng)x∈(0,2)時,h(x)＞0,則g′(x)＞0,所以g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(2,+∞)時,h(x)＜0,則g′(x)＜0,所以g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(2)=由題意,

綜上,a的取值范圍為

解法2當(dāng)x≥ 0 時,f(x)≥+ 1,即ex+等價于1+≥0,令g(x)=+ 1,x≥ 0,則g′(x)=若2a+ 1≤0,即時,g′(x)＞0 的解集為(2,+∞),則g(x)在[0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(2)=由題意得≥0,解得a≥矛盾.

若0＜2a+1＜2,即時,g′(x)＞0 的解集為(0,2a+1)∪(2,+∞),所以g(x)在[0,2a+1)上單調(diào)遞增,在(2a+1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈[0,2a+1)時,g(x)≥g(0)=0,要使得g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,則g(2)≥0,即≥0,解得若2a+1=2,即時,g′(x)≥0,則g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,滿足題意.

若2a+ 1＞2,即a ＞時,g′(x)＞0 的解集為(0,2)∪(2a+ 1,+∞),所以g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增,在(2,2a+1)上單調(diào)遞減,在(2a+1,+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈[0,2)時,g(x)≥g(0)=0,要使得g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,則g(2a+1)≥0,即

令t=2a+ 1,則+ 1≥ 0,令h(t)=+1,則h′(t)=＞0,所以h(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,故h(t)＞h(2)=1?＞0,滿足題意,所以

綜上,a的取值范圍為

評析本題是一道不等式恒成立問題,此題的難點(diǎn)在于不等式由指數(shù)和3 次函數(shù)的簡單組合,次數(shù)比較高,多次求導(dǎo)可以降冪,但有參數(shù)不容易求根,所以直接作差構(gòu)造函數(shù)的最值法行不通.為了解決以上的這個困難,可以從兩個方面著手: 一是分離參數(shù),將參數(shù)從函數(shù)中分離出來,然后通過多次求導(dǎo)降冪,從……