待定系數(shù)法解決一類三角函數(shù)的最值問題

廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

高考真題(2018年高考全國卷Ⅰ理科第16 題)已知函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x,則f(x)的最小值是____.

分析函數(shù)f(x)中既有sinx,又有sin 2x=2 sinxcosx,初看感覺無從下手,只能通過求導來求最值,于是得到解法一.然后觀察f(x)的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)可以利用不等式來求最值,于是得到解法二,三,四.

解法一只需考慮一個周期[0,2π].

令f′(x)=0 得易得當時,f(x)取最大值,當x=時,f(x)取最小值

解法二先求f(x)在一個周期[0,2π]上的最大值.令則f(π ?x)=2 sinx ?sin 2x≤f(x),f(π+x)=sin 2x?2 sinx≤f(x),f(2π?x)=?2 sinx?sin 2x≤f(x),所以f(x)的最大值在上取到.易知sinx在[0,π]上凸,由琴生不等式得

解法三同解法二得f(x)的最大值在上取到.

當且僅當3(1?cosx)=1+cosx,即時,f(x)取最大值又因為f(x)是奇函數(shù),所以當時,f(x)取最小值

解法四f(x)=2 sinxcosx+2 sinx.假設當sinx=a,cosx=b時,f(x)取最大值,引入?yún)?shù)a,b ＞0,且a2 +b2=1.由得由sinx·a≤得于是

于是2 sinxcosx+2 sinx≤所以f(x)的最大值為當且僅當sinx=+2kπ(k∈?)時,f(x)取最大值.又因為f(x)是奇函數(shù),所以當時,f(x)取最小值

解法二把f(x)的表達式轉(zhuǎn)化為三個角的正弦,且這三個角的和是定值,然后利用琴生不等式求出函數(shù)最大值.解法三把f(x)的表達式轉(zhuǎn)化為正弦與余弦的乘積,然后利用多元均值不等式求出函數(shù)最大值,技巧性很強.解法四利用待定系數(shù)法,通過假設f(x)取最大值時sinx,cosx的取值引入?yún)?shù),并利用結(jié)構(gòu)特點和取等條件構(gòu)造不等式,最后由系數(shù)的比例關系和參數(shù)滿足的條件求出參數(shù),進而求出函數(shù)最大值.

變式探究若函數(shù)f(x)中既有sinx,sin 2x,又有cosx,cos 2x,即f(x)=psin 2x+qcos 2x+rsinx+scosx,p,r,s≥0,如何求函數(shù)f(x)的最大值? 此時解法一仍然適用,但是方程f′(x)=0 不好解.由于系數(shù)p,q,r,s的一般性,解法二和解法三就不適用了.本文通過探究發(fā)現(xiàn),解法四的待定系數(shù)法仍然可以解……