不等式恒成立問題的解法探究*
——以2020年高考全國Ⅰ卷理科數學壓軸題為例

廣東省深圳市高級中學(518040) 李浩賓 高 軍

不等式恒成立問題作為近年來高考的熱點題型,也是不等式學習中的重點與難點.本文以2020年高考全國Ⅰ卷理科數學第21 題第2 問為例,呈現問題的三種思路,五種解法,兼顧了解題的通性通法和常用解答技巧的理性思考,展示了運用多種數學思想方法進行思考的解題過程,體現了數學思想對數學解題的作用,并在解題和教學層面進行了反思,與讀者交流.

一、試題呈現

題目(2020年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數

f(x)=ex+ax2?x.

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性;

(2)當x≥0 時,f(x)≥+1,求a的取值范圍.

下面主要對第(2)問進行解法探究.

二、解法探究

思路一: 分離函數,數形結合

解法1(分離參數)分離參數法是通過對不等式恒等變形,使參數與主元分離于不等式兩端,從而將問題轉化為求主元函數的最值的解題方法.本題中的不等式含指數函數與三次函數,參數為二次項系數,比較容易分離參數.

(i)當x=0 時,f(x)≥+1 恒成立;

(ii)當x ＞0 時,f(x)≥+ 1 等價于a≥恒成立,記g(x)=則g′(x)=記h(x)=+x+1?ex,當x ＞0 時,h′′(x)=1?ex ＜0,h′(x)=x+1?ex ＜0,所以h′(x)在(0,+∞)內單調遞減,h′(x)＜h′(0)=0,所以h(x)在(0,+∞)內單調遞減,h(x)＜h(0)=0.所以當x∈(0,2)時,g′(x)＞0,g(x)在(0,2)內單調遞增; 當x∈(2,+∞)時,g′(x)＜0,在(2,+∞)內單調遞減,所以[g(x)]max=g(2)=故a≥

綜上所述,a的取值范圍為

評注本題分離后的函數單調性判斷不復雜,原因是導函數通分后的分子能夠因式分解,導函數的零點較容易求解,導函數的正負情況容易判斷.因此,分離參數的原則是分離后的函數單調性容易判斷,能夠得到函數的最值(確界),進而解決恒成立問題.利用分離參數法來確定不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ為實參數)恒……