一道橢圓試題的多角度探究

內蒙古巴彥淖爾市第一中學(015000) 楊松松 王東偉

1 試題呈現

題目(長春市普通高中2020 屆高三質量監測(二))已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左、右頂點分別為A、B,焦距為2,點P為橢圓上異于A、B的點,且直線PA和PB的斜率之積為

(1)求C的方程;

(2)設直線AP與y軸的交點為Q,過坐標原點O作OM//AP交橢圓于點M,試探究是否為定值,若是,求出此定值;若不是,請說明理由.

2 解法探究

解(1)設點P(xP,yP),則=1,又A(?a,0),B(a,0),kPA ·kPB=因此又2c=2,所以

第(2)問可用以下三種方法解答.

解法一設點P(xP,yP),Q(xQ,yQ),則xQ=0.由題意可知,直線AP的斜率存在且不為零,設直線AP的斜率為k,則AP:y=k(x+2),OM:y=kx.聯立直線AP與橢圓C的方程并整理得,(3+4k2)x2+16k2x+4=0,注意到?2,xP是上式的兩根,所以?2+xP=因此聯立直線OM與橢圓C的方程并整理得,(3+4k2)x2=12,注意到xM是上式的根,則所以=2(為定值).

解法二設點P(xP,yP),Q(xQ,yQ),設直線AP的方程為

直線OM的方程為x=my.聯立直線AP與橢圓C的方程并整理得,(3m2+4)y2?12my=0,解得y=0 或y=因此yP=由①式可知,當x=0時,y=,因此yQ=.聯立直線OM與橢圓C的方程并整理得,(3m2+4)y2=12,解得y2=因此=2(為定值).

解法三設直線AP的傾斜角為α,則直線AP的參數方程為(t是參數),直線OM的參數方程是(t是參數),把直線AP的參數方程代入到橢圓C的方程并整理得,(3cos2α+4sin2α)t2?12 cosαt=0,解得t=0 或t=則

把直線OM的參數方程代入到橢圓C的方程并整理得,(3cos2α+4sin2α)t2=12,解得t2=所以

點評三種解法的區別在于直線AP方程的形式不同,這使得試題的解法具有多樣性,為考生提供了廣闊的空間,而三種方法的本質都是解析法,這是解決解析幾何問題的核心方法.

3 題目的一般化

將題目一般化可以得出:

性質1已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左頂點為A,P為橢圓C上異于點A的一點,直線AP與y軸交于點Q,過坐標原點……