切線放縮法是一種選擇

江西南昌蓮塘第二中學(330200) 唐水華

導數(shù)及其應用的相關基礎知識和基本方法是歷年來數(shù)學高考的重點和高頻考點,也是數(shù)學高考的主要壓軸題.雖然多數(shù)學生對導數(shù)及其應用的基礎知識、基本方法并非不懂,但歷年來導數(shù)及其應用壓軸題的高考結果總是不盡人意.其中有一些試題涉及函數(shù)的凹凸性.雖然在當前的高中數(shù)學教材中,并沒有對函數(shù)的凹凸性進行像函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性那樣的單列章節(jié)的教學內容,但教材中有關例題、練習題卻有涉及,尤其是近年來模擬考、高考中也有涉及,因此有必要就其中涉及具有凹凸性質的函數(shù)不等式的證明求解問題來嘗試用切線放縮法進行一下探究.

圖1

圖2

圖3

切線放縮法是利用凹凸函數(shù)的圖像總是位于其切線的上方或下方的性質(性質1: 一元連續(xù)可微函數(shù)在區(qū)間上是凸或凹的,當且僅當函數(shù)位于所有它的切線的上方或下方;性質2:f(x)在[a,b]上是凸函數(shù),且f(x)存在一、二階導數(shù)等價于f′′(x)≤0,f(x)在[a,b]上是凹函數(shù),且f(x)存在一、二階導數(shù)等價于f′′(x)≥0,——引自華東師范大學數(shù)學系編《數(shù)學分析》第197 ～202 頁),凹凸函數(shù)及其切線圖像可以用圖1、圖2 和圖3 大致地表示.利用切線放縮法進行適當?shù)姆趴s,可以化繁為簡、化難為易,達到事半功倍的效果.有利于學生在高考中遇上此種題型得以迅速準確地給出解答.

引例已知函數(shù)f(x)=2ex+(2a ?1)x2.若曲線f(x)在x=1 處的切線方程為y=2(e ?1)x+1,(1)求a的值;(2)求證: 當x ＞0 時,f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1).

學生常規(guī)思路(1)a=0,過程從略.(2)因為x∈(0,+∞),所以要證:f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1),即證: 2ex ?x2≥ 2(e ?1)lnx+ (2e ?1).因……