巧用蒙日圓 妙解一類題

江西省瑞金第一中學(xué)(342500) 魏東升

我們可能都曾有過這種感受,就是明明對一種事物很熟悉,但隨著我們對其了解的深入,卻出現(xiàn)了越來越陌生的感覺,比如從小到大伴隨我們成長的圓,可謂是大家最熟悉的圖形之一了.但是當(dāng)其以阿波羅尼斯圓、蒙日圓等這類隱形圓的身份出現(xiàn)在高考題中時,不少人卻陌生了.為此,本文通過例舉蒙日圓在部分有心二次曲線(有對稱中心的二次曲線)問題上的應(yīng)用,來讓大家感受運用蒙日圓解題的美妙.

在有心二次曲線中,任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是有心二次曲線的中心,半徑由有心二次曲線的二次項系數(shù)決定,這個圓就是蒙日圓.用符號語言可以表示為:

定理若過一動點P能向有心二次曲線C:mx2+引兩條相互垂直的切線,則該動點P的軌跡是一個圓,其方程為:(當(dāng)C為雙曲線時,此軌跡不含與漸近線的交點).

證明假設(shè)點P(x0,y0),當(dāng)兩條切線斜率存在且不為0時,設(shè)其斜率分別為k1和k2,并設(shè)經(jīng)過點P的切線方程為:y=k(x ?x0)+y0,與曲線C的方程mx2+ny2=1 聯(lián)立消去y整理得:

當(dāng)m+nk2/=0 時,整理得: (n?mnx02)k2+2mnkx0y0?mny02+m=0,可知k1和k2是該方程的兩個根,所以k1k2==?1,整理得:

當(dāng)m+nk2=0 時,方程①為關(guān)于x的一次方程,即不存在滿足題意的兩條相互垂直的切線,此時的點P剛好在雙曲線的漸近線上; 當(dāng)C為雙曲線時,滿足題設(shè)的兩條直線斜率存在且不為0;當(dāng)C不為雙曲線時,滿足題設(shè)的兩條直線斜率不存在或為0,此時點P的坐標(biāo)為或滿足方程②.

綜上所述,點P的軌跡方程為:x2+y2=(當(dāng)C為……