基于焦點弦的一道預賽題最值問題探究*

湖北恩施州教育科學研究院(445000) 周 威

對預賽試題的探究與遷移,有助于提升學生的思維高度、開闊學生的數學視野,而非僅僅停留在“解題”的表面,既為開展研究性學習和數學探究活動提供素材,也為核心素養的落實提供可行的途徑.

一、試題呈現與問題提出

例(2019年新疆預賽試題)設F是橢圓E:+y2=1 的左焦點,過點F斜率為正的直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N,試求|MN|的最小值.

圖1

解如圖1,設直線l的傾斜角為在RtΔMAF中有|MF|=在RtΔNBF中有|NF|=所以|MN|=|MF|+|FN|=設F1是橢圓的右焦點,連接BF1,記|BF|=x,則|BF1|=?x.由余弦定理得|BF1|2=|BF|2+|FF1|2?2|BF||FF1|cosθ,即有|BF|=x=

同理可得|AF|=所以|AB|=|AF|+|BF|=所以|MN|=令f(θ)=(3?2cos2θ)2·4 cos2θ,則由均值不等式有

當且僅當3?2cos2θ=4 cos2θ取等號,即θ=時f(θ)max=4,此時|MN|min=

題中|AB|其實就是焦點弦,問題背景十分熟悉,解答過程也很自然.過焦點的直線與橢圓相交于兩點,讓人很自然到想到過焦點的弦長公式,從而轉換到|AB|與|MN|的關系上來.值得一提的是在求f(θ)max時,還可以利用函數導數進行求解.

問題2|MN|的最值問題是否可以類比遷移到雙曲線和拋物線的情形? |MN|的最小值是否存在?

二、基于焦點弦的等式關系探究

通過上述問題導向,不難發現,問題1 中對于|AB|與|MN|的關系有如下性質:

性質1設F是圓錐曲線E的一個焦點,過點F的直線l傾斜角為直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N.則當θ∈(0,)時,|MN|=當時,

圖2

證明先考慮橢圓情形,當直線l的傾斜角為時,由圖1,顯然|MN|=當直線l的傾斜角為時,如圖2,在RtΔMAF與RtΔNBF中,始終滿足cos(π ?θ)=所以|MN|=|MF|+|FN|=

當圓錐曲線為雙曲線或……