二面角中角的關系初探及應用

廣州市第六中學(510300) 劉旭升

二面角中蘊含了很多的角,有二面角的平面角,直線與直線所成的角,直線與平面所成的角,那么這些角之間都有些什么關系呢? 下面我們一起來探究一下.

1.二面角與線線角的關系

如圖1,給出大小為θ的二面角A ?l ?B.

圖1

圖2

如圖2,在二面角的棱l上取點O,C,兩個半平面內分別取射線OA,OB,設∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ.則有

結論1(三面角的余弦公式)

特別地,當θ=90°,即兩平面互相垂直時,cosγ=cosαcosβ.

限于篇幅,下面僅證明α,β均為銳角時,結論成立.

我們不妨設AC⊥CO,BC⊥CO,OC=1,則∠ACB=θ.易知AC=tanα,BC=tanβ,AO=secα,BO=secβ.ΔABC中,由余弦定理得

ΔAOB中,由余弦定理得

由sec2α=1 + tan2α,sec2β=1 + tan2β化 簡 得secα·secβ·cosγ=1+tanα·tanβ·cosθ,同乘以cosα·cosβ得cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.

注結論1 也稱為三面角的余弦公式(見[1]).此外由異面直線所成的角的定義可知,當OA、OB改為兩個半平面內任意一條直線時,該結論仍然成立.

2.二面角與線面角的關系

如圖3,OA為二面角β ?l ?γ中面γ的一條射線.

圖3

圖4

結論2二面角β ?l ?γ的大小為θ,OA與面β所成角為φ,與棱l所成的角為α,則有sinφ=sinαsinθ.

證明: 如圖4,過A點作AC⊥l于點C,作AB⊥β于點B,連BC,則由三垂線定理知∠ACB=θ,又∠AOB=φ.則sinφ==sinαsinθ.證畢!

結論3二面角β ?l ?γ的大小為θ,直線AB與棱l所成的角為α,與面β所成的角為φ1,與面γ所成的角為φ2,則有sin2θsin2α=sin2φ1+sin2φ2?2 sinφ1sinφ2cosθ.

圖5

圖6

證明如圖6,作BG//l,取OA⊥l,OG⊥l交BG于點G,作AE⊥直線OG,作GF⊥直線OA垂足為F,BD⊥面γ且D∈ γ,則∠AOG=θ,∠ABG=α,∠ABE=φ1,∠BAD=φ2.取AB=1,則有AE=sinφ1,OA=AEcscθ=sinφ1cscθ;FG=BD=sinφ2,OG=FGcscθ=sinφ2cscθ.又AG=sinα,故ΔAOG中,由余弦定理得AG2=OA2+OG2?2OAOGcosθ,即有

整理得sin2θsin2α=sin2φ1+sin2φ2?2 sinφ1sinφ2cosθ.證畢!

注當φ2=0 時,結論3 即為結論2.

3.角間關系的應用

結論1 有廣泛的應用,尤其在折疊問題中涉及角的問題,運用起來更是得心應手,很多問題均可輕松解決.下面我們看幾道具體的問題.

例1(2015年高考浙江卷理科第8 題)如圖7,已知ΔABC,D是AB的中點,沿直線CD將ΔACD折成ΔA′CD,所成二面角A′?CD ?B的平面角……