理解數學，理解學習，理解學生

葉旭山

摘要：數學的基礎是邏輯和直覺、分析和結構、共性和個性。初中數學有4個典型特點：從“數”到“式”，從“算術數”到“有理數”，從“算術解法”到“代數解法”，從“實驗幾何”到“論證幾何”。初中數學教學，要引導學生學會同構、學會轉化、學會類比，養成多想、多做、多問、多總結、多復習等良好的學習習慣。

關鍵詞：初中數學 數學學習 學習習慣

一、 理解數學——什么是初中數學

（一） 數學是什么

數學到底是什么？這個問題的答案，版本眾多。大家普遍認為，數學是研究數量關系和空間形式的科學。它從量的側面去探索和研究客觀世界的普遍規律，通過對物體的空間形式和數量關系的研究，不僅極大地推動了生產實際和科學技術的發展，同時還給予人們如何發現并提出問題、分析和解決問題以及總結與深化問題的思維方法。

下面兩個故事，有助于更好地理解數學的特點。

第一個故事“兩只羊的描述”：

草地上有兩只羊，藝術家、生物學家、物理學家、數學家卻有不同的感受與理解，下面是他們的描述：

藝術家：藍天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。

生物學家：雄雌一對，生生不息。

物理學家：大羊靜臥，小羊漫步。

數學家：1+1=2。

從不同職業的人對兩只羊的描述，我們能感受到藝術家對自然美的關注，生物學家對生命的關注，物理學家對運動與靜止的關注，而數學家從色彩、性別、狀態中抽象出數量關系“1+1=2”，這是數學高度抽象性的體現。

學生的數學學習要經歷“具體—表象—抽象”的過程，因此，要在直觀物體和抽象概念之間建構橋梁，引導學生把握事物最主要、最本質的數學屬性。抽象要有經歷的過程，而不是直接告訴抽象的結果。數學抽象本身又是一個不斷提高的過程，這一過程永無止境。

第二個故事“小行星的發現”：

這是一個用數學解決天文學的實例。1781年以前，人們只知道太陽系有六大行星，水星、金星、地球、火星、木星和土星。設地球與太陽的平均距離（以天文距離為單位）是10，那么，各行星與太陽的距離分別是水星3.9，金星7.2，火星15.2，木星52，土星95.4。1766年，提丟斯對各個行星與太陽的距離進行了數學化的分析，發現水星的3.9≈4+0，金星的7.2≈4+3，地球的10=4+6，火星的15.2≈4+12，木星的52≈4+48，土星的95.4≈100=4+96。這種近似對于天文距離而言是常見的，由此歸納出一個經驗公式：各行星與太陽的距離分別是4依次與數列0，3，6，12，24，…（此數列自第二項起，后一項都是前一項的2倍）各項的和。進而，推測與太陽的距離約為28（=4+24）的位置可能會有行星的存在，與太陽的距離約為196（=4+192）的位置也可能會有行星的存在。

1781年3月13日，赫歇爾發現天王星，在與太陽的距離為196的位置。這再次激發大家尋找其他位置可能存在行星的興趣和信心。

1801年1月1日晚，皮亞齊在意大利西西里島的巴勒莫天文臺，為了核對星圖，觀察金牛座一帶的星體時，發現一顆8等星與星圖不合。第二夜再觀察時，發現它已向西移動。皮亞齊連續觀測了40天，一直到2月11日。皮亞齊因為勞累過度而病倒，但他將觀測的結果寫信告訴了歐洲大陸的天文學家。因為當時正值拿破侖遠征埃及，英國艦隊封鎖了地中海，所以直到1801年9月，歐洲大陸的天文學家才知道這件事。這個結果引起了轟動。但那時這顆星已被陽光所掩，無法尋得蹤跡，似乎它已在無數群星之中永遠消逝了。

時年24歲的高斯經過幾個星期的不懈努力，克服了重重困難，終于創立了“行星橢圓軌道法”，成功地解決了這一問題。這一年的年底，天氣晴朗，天文學家在預測的位置上，重新找到了這顆星（后定名為“谷神星”）。這顯示了數學理論的巨大威力，充分展現了高斯非凡的才能。谷神星與太陽的距離為27.7，與28基本相符。但新的問題又產生了：谷神星的直徑僅有770公里，是火星直徑的6%，是木星直徑的0.55%;位置處在火星與木星之間，它的大小極不相稱。于是，天文學家在這個空間帶里繼續尋找并發現了許多小星體，后來這些小星體統稱為小行星，形成一個小行星帶。

這個故事告訴我們：數學，作為人類智慧的一種表達形式，反映了生動活潑的意念、深入細致的思考以及完美和諧的愿望。它的基礎是邏輯和直覺、分析和結構、共性和個性。

（二） 初中數學是什么

初中數學有4個典型特點，簡稱“4條線”。

1. 從“數”到“式”，即“數的運算→用字母表示數→式的運算”。這是“字母線”。

下面來完成一個小游戲：測出心中的偶像，感受一下字母的魅力。游戲規則：從1—9中選一個你喜歡的數字，乘3加3，再把得到的數乘3，然后

把個位與十位的數字相加，在心里記住所得到的結果;稍后查看表1中對應數字代表的人物，就知道內心崇拜的偶像了。根據活動的需要，我將數字9對應的人物設置為我本人，是為了增加神奇感和趣味性。教師可以根據具體活動的需要調整數字9對應的人物，以達到相應的目標。

這個游戲的最后結果都是一致的（數字9），也就是說，崇拜的偶像都是同一個人。很神奇吧！解決這個問題，主要有兩種思路：

思路一：把1—9這9個數字全部算了一遍，發現結果都是9（如表2）。

思路二：把心里想的那個數字設為a，那么依據規則，將這個數字乘3加3，再把得到的數乘3，就是3（3a+3）=9a+9=10a+（9-a），因此，十位上的數字是a，個位上的數字是9-a;再依據規則把個位與十位的數字相加，也就是a+（9-a）=9，所以結果都是9。

這個游戲的目的，是為了切實感受“用字母表示數”的必要性和優越性。思路一運用完全歸納法，說理很嚴密，但需要計算9次，比較麻煩;思路二在本質上屬于嚴格代數推理范疇，要求學生先自覺運用“符號表示”，然后依據規則“操作符號”來揭示這個游戲背后的數學本質。通過這個游戲活動，可以幫助學生認識到“用字母表示數”的優越性，初步形成運用符號表達的意識，進而發展有序思考的習慣，積累數學思考的基本經驗。

從上述過程可以看出，和小學數學相比，初中數學最大的特點是抽象程度的提高，簡單地說，就是從“算術”跨越到“代數”。小學數學中主要出現的是具體的數，而到了初一接觸到的是“用字母表示數”，是數的概念的發展，建立了代數概念，研究的是有理式的運算。這種由“數”到“式”的過渡，是由特殊的、具體的、確定的數，到一般的、抽象的、不確定的字母和代數式。這是數學思想上的一個飛躍，是形象思維向抽象思維的轉變。我們要努力幫助學生過好“抽象關”。

2. 從“算術數”到“有理數”，即“非負有理數→初步認識負數→有理數→實數”。這是“數系線”。

小學數學中出現的數一般屬于非負有理數，一般稱之為“算術數”。進入中學后，首先接觸到的就是負數，把數的范圍擴大到了有理數。負數似乎不難，卻攪亂了學生原有的數的觀念。這實際上是一種質的飛躍。很多學生有些不適應。比如，0是“算術數”中最小的數，但在有理數中卻沒有最小的數;在非負有理數中，被減數必須大于減數，但在有理數中，減法總是可以實施的。由于數的擴充，引入了負數、有理數、絕對值、相反數等新的概念，使小學階段數學概念的外延和內涵都發生了變化。這些變化會使剛進入初一的學生有些不適應。運算是學好數學的基本功。初中階段是培養學生數學運算能力的黃金時期。初中運算涉及的核心板塊，包括有理數的運算、整式的運算、因式分解、分式的運算、根式的運算、解方程與不等式，等等。

提高運算能力，就是要求能準確、簡捷地進行運算。正確理解概念，掌握運算法則，運用轉化的思想方法，能準確、合理、熟練、靈活地運用運算法則和運算律，是提高運算能力的關鍵。保證做題的數量和質量是學好數學的必由之路。我們要努力幫助初中階段的學生過好“計算關”，保證計算的數量和質量。

如何保證數量？選準一本與教材同步的輔導書或練習冊，做完一節的全部練習后，對照答案進行批改;選擇有思考價值的題，與同學、老師交流，并把心得記在記錄本上;每天保證30分鐘左右的練習時間。

如何保證質量？題不在多，而在于精，要學會“解剖麻雀”;不僅要落實思維過程，而且要落實解答過程;注重復習，“溫故而知新”，把一些比較“經典”的題重做幾遍，把做錯的題當作一面“鏡子”進行自我反思，也是一種高效率的、針對性較強的學習方法。

3. 從“算術解法”到“代數解法”，即“算術解法→簡易方程→列方程解應用題”。這是“方程線”。

在小學，解題主要采用算術解法，而中學需用代數解法（列方程）。算術解法是將未知量處于完全被動的特殊地位，只允許已知量參加運算，總是“等待”由已知量計算出它的數值，把已知量與未知量處于對立狀態，采用的是逆向思維;而代數解法則承認未知量也是數，把所求的量與已知量放在平等的地位，找出各個量之間的等量關系，建立方程而求出未知量，采用的是正向思維。當然，小學數學也涉及簡易方程，但其數量之間是用和、差、積、商等數量關系來說明的，而一元一次方程在理論上有了同解原理，有關解方程的一些步驟也提高到了理論上的理解。例如，有這樣一道題：比一個數的4倍小3的數是13，求這個數。算術解法的特點是逆推求解，列出算式（13+3）÷4;而代數解法則是順向推導，設所求數為x，只要直譯原題，即4x-3=13，便可求解。算術解法強調套類型，代數解法則重視靈活運用知識，培養分析和解決問題的能力，這是思維方法上的一大轉折。

又如，經典的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔，雞和兔共有3個頭、8條腿，共幾只雞、幾只兔？小學生采用猜測每一種情況并進行檢驗的策略，得到問題的最終答案，即有2只雞、1只兔;而初中生還可以用解二元一次方程組的方法。不同學段有不同的學習策略。要鼓勵學生體會解決問題的不同方法，學習評價不同的策略，并豐富和擴充自己的策略。初中階段需要承認未知量也是數，把未知量與已知量放在平等的地位，找出各個量之間的等量關系，建立方程而求出未知量。因此，在初中階段，我們要努力幫助學生過好順向“思維關”和“計算關”。

4. 從“實驗幾何”到“論證幾何”，即“直觀感知，操作確認→合情推理（說一點理）→推理”。這是“論證線”。

學生在小學已經學過幾何的初步知識，對一些常見圖形有了基本了解，比如線、角、三角形、平行四邊形、梯形、圓等，側重于認識圖形。計算長度、面積等，屬于實驗幾何的范疇，主要是讓學生自己動手量一量、折一折、剪一剪、拼一拼，通過實踐活動增長知識，重計算不重邏輯推理。而中學幾何是在小學幾何基礎上的進一步認識，對學生提出了更高的要求——對圖形的屬性進行分析、綜合、抽象、概括、推理證明，不僅要全面掌握各圖形的性質與識別方法，掌握幾何的基礎知識和基本技能，進一步培養運算能力，而且要運用演繹的方法證明有關平面圖形的性質，進行嚴謹的推理論證，發展邏輯思維能力和空間觀念。這個領域的內容，初一學生普遍感到不適應，也是出現分化最嚴重的學習板塊。初一的幾何學習，主要包括《走進圖形的世界》《平面圖形的認識（一）》《平面圖形的認識（二）》《證明》這四章（蘇科版七年級數學教材），內容已涉及概念、推理論證、作圖等幾何教學的基本問題。這些內容既是幾何入門教學的重點，又是難點。初中幾何入門難的主要原因：一是學科內容從代數到幾何發生了由數到形、由計算到推理的轉變;二是幾何入門概念多。因此，在初中階段，我們要努力幫助學生過好“推理關”，熟練掌握文字語言、圖形語言、符號語言之間的轉換。

二、 理解學習——初中數學怎么學

由于數學有其突出的特點，所以數學學習也必將表現出一些特殊性。數學學習活動本質上是數學思維活動，數學學習是一個“數學化”的過程，也是一個邏輯推理的過程，需要嚴密的邏輯推理能力。

有這樣一個故事：

三位科學家由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一只黑羊。

“啊！”天文學家說，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”

“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這么說。”物理學家道，“你只能說那只黑色的羊是在蘇格蘭邊境發現的。”

“也不對。”數學家說，“由這次觀察，你只能說：在這一時刻，這只羊，從我們觀察的角度看過去，有一側表面是黑色的。”

這里，數學家對蘇格蘭羊的描述，就充分體現出數學的嚴密性。數學是思維的體操，語言是思維的外殼，數學的理性思維是建立在數學概念、數學定理等數學語言的嚴密界定之上的。數學語言的簡潔、精煉、嚴密的特性，要求我們在平時的數學教育教學中不斷地錘煉數學教學語言，進而通過數學語言的訓練提升學生的思維品質。

根據學習的認知理論，數學學習的過程是新的學習內容與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。下面著重介紹幾種初中數學學習的基本方法。

（一） 學會同構

大家先來看這樣的一則消息：圖同構問題（graph isomorphism problem）獲得重大進展。美國數學學會2015年評出當年美國數學界10件大事，其中之一就是圖同構問題的進展。

圖同構問題，即圖1與圖2是否屬于同構（點之間一一對應）的問題。這在復雜性理論中一直是一個特殊問題。芝加哥大學的László Babai教授在2015年11月的研討會上提交了有關論文，并描述了他的最新工作。

我們暫且不去討論圖同構問題的深層次學術問題，只討論一下圖1、圖2為什么本質上是同一張圖。這兩張圖，其實都是這樣完成的：平面上有A、B、C、D、E五個點，然后依次按順序首尾連接AB、BC、CD、DE，EA。這兩張圖中，無論是點還是線段都是一一對應的。

再來看圖3、圖4。E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH一定是平行四邊形。對于圖3，結論的推理大部分學生處理起來絕對輕松;但是對于圖4，結論的推理有相當一部分學生顯得束手無策。究其原因，就是沒能真正理解這兩張圖其實本質上是一樣的，也是圖同構問題。理解了圖同構問題的本質，便會發現這兩張圖相關結論的推理過程完全一樣。

再看圖5、圖6、圖7。乍一看，這三張圖之間似乎沒啥聯系。其實，這三張圖從某種意義上看也是同構的：圖5中，從左側到達右側共有8種不同的路徑;圖6中，從左側到達右側共有8種不同的路徑;圖7中，從迷宮的入口到達中間也有8種不同的路徑。

數學學習，要善于找出不同事物之間的共同屬性進行概括歸納，并加以應用。這三張圖其實也就是初中數學要學習的概率的基本模型：一只不透明的袋子中裝有顏色分別為黑、白的球各一個，連續摸3次（放回），摸到某種顏色的球的概率是多少。

下面是一道2013年南京市中考數學試題：

（1）? 一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各一個，這些球除顏色外都相同。求下列事件的概率：

① 攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球;

② 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球。

（2）? 某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的。如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么他6道選擇題全部選擇正確的概率是（）

這個問題中的第（1）題與第（2）題是“同構”的。第（2）題中的“每道題所給出的4個選項”，可以看作是第（1）題中的“一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各一個”。如此看來，問題也就迎刃而解了。

（二） 學會轉化

先看一則故事“燒水的問題”。

有人提出這樣一個問題：“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水，應當怎樣去做？”

被提問者答道：“在壺中倒入水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”

提問者肯定了這一回答，接著追問：“如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應當怎樣去做？”

這時被提問者很有信心地答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”

但是提問者說：“物理學家通常都這么做，而數學家則會倒去壺中的水，并聲稱已把后一問題轉化成先前的問題。”

數學家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉，不過，故事的編創者不是要我們去“倒去壺中的水”，而是引導我們感悟數學家獨特的思維方式——轉化。數學學習，不是問題解決方案的累積記憶，而是要學會把未知的問題轉化成已知的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化成具體的問題。數學的轉化思想簡化了我們的思維狀態，提升了我們的思維品質。轉化不是就事論事、一事一策，而是發掘出問題中最本質的內核和原型，再把新問題轉化成已經能夠解決的問題。

比如，學習多邊形內角和，就是將多邊形內角和問題轉化為三角形內角和問題，可以通過圖8的方式轉化，也可以通過圖9的方式轉化。

又如，公式（a-b）2=a2-2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推導得出的，該推導過程的第一步是（a-b）2=[a+（-b）]2，其本質就是將減法轉化為加法。再看這樣一個問題：已知公式（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，請直接寫出（a-b）4的展開式。知道轉化，這個問題也就非常簡單了。

再如，在一個3×3的方格表（如圖10）中，填入9個不同的正整數，使得排在一條直線上的3個數的積都相等。

使得排在一條直線上的3個數的積都相等，這屬于積的幻方的范疇，難度還是比較高的，但如果懂得靈活轉化的話，就很簡單了。觀察圖11，是一個最基本的和的幻方問題，即使得排在一條直線上的3個數的和都相等。如何將和的幻方問題轉化為積的幻方問題呢？再觀察圖12，也許就迎刃而解了。

轉化思想是數學的基本思想，它應貫穿數學學習的始終。因為，數學問題的求解都是運用已知條件，對問題進行恰當轉化，進而達到解題目的的一個探索過程。可見，數學學習過程實際上是由一連串的轉化所組成的。轉化的目標，就是將復雜問題向簡單問題轉化，具體表現為：當解決生疏、復雜的問題不易入手時，必須變換思考的角度，利用發散性思維，產生新的聯想，將問題轉化為熟悉的簡單問題。