問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

江蘇省南京市第九中學(xué) 張 冉

近日，筆者有幸面向本區(qū)展示了《拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)公開(kāi)課。本文是筆者對(duì)這節(jié)課的再整理及再思考。

一、教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

1.情境引入，提出問(wèn)題

師：最近我們研究了具有某種幾何特征的動(dòng)點(diǎn)軌跡。如：橢圓是到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡；雙曲線(xiàn)是到定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡。請(qǐng)確定滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)P的軌跡：

給定直線(xiàn)l和直線(xiàn)外一點(diǎn)F，過(guò)直線(xiàn)上任一點(diǎn)G作l的垂線(xiàn)，交線(xiàn)段FG的垂直平分線(xiàn)于點(diǎn)P，點(diǎn)G在直線(xiàn)上變化，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。（如下圖）

問(wèn)題1：動(dòng)點(diǎn)P具有怎樣的幾何特征？

生：P點(diǎn)是垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，所以PF=PG。

師：P還是l垂線(xiàn)上的點(diǎn)，則PG的幾何意義是？

生：PG表示P到定直線(xiàn)l的距離。

師：總結(jié)來(lái)說(shuō)，動(dòng)點(diǎn)P的幾何特征是？

生：P到F的距離等于到直線(xiàn)l的距離。

【設(shè)計(jì)意圖】借助情境中的垂直平分線(xiàn)條件，找到動(dòng)點(diǎn)P的幾何特征是PF=PG，即P到定點(diǎn)F和到定直線(xiàn)l的距離相等。否定軌跡為橢圓或雙曲線(xiàn)，并為給出拋物線(xiàn)的定義和探究P點(diǎn)的軌跡方程做鋪墊。

問(wèn)題2：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是何曲線(xiàn)？

師：圖形直觀顯示，P的軌跡像是橢圓或者雙曲線(xiàn)的一部分。思考動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線(xiàn)？橢圓？雙曲線(xiàn)？

生：都不是。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P不滿(mǎn)足以上兩種圓錐曲線(xiàn)的定義，P的軌跡應(yīng)該是其他的曲線(xiàn)。

師：華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。我們要想嚴(yán)謹(jǐn)?shù)嘏袆e出P的軌跡，單純依靠圖形是不夠的，還需要借助代數(shù)手段，也就是探究P點(diǎn)的軌跡方程。

【設(shè)計(jì)意圖】明確了P點(diǎn)的幾何特征之后，結(jié)合給出的軌跡形狀，學(xué)生有了直觀的認(rèn)識(shí)，然后探究P點(diǎn)的軌跡方程。

2.合作探究，體驗(yàn)過(guò)程

明確研究軌跡方程的一般步驟后，對(duì)坐標(biāo)系的建法進(jìn)行引導(dǎo)探究。學(xué)生在三種坐標(biāo)系下分別求出拋物線(xiàn)的方程，并通過(guò)自主比較得出以?huà)佄锞€(xiàn)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的建系條件下得到的方程最為簡(jiǎn)潔，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)方程。

3.自主建構(gòu)，歸納概括

師：回到問(wèn)題2，剛才從形狀上不能判別是否為橢圓或雙曲線(xiàn)。現(xiàn)有了軌跡方程，請(qǐng)從方程結(jié)構(gòu)入手，分析是何曲線(xiàn)？

生：不是橢圓，也不是雙曲線(xiàn)，橢圓與雙曲線(xiàn)的方程中，x、y的最高次項(xiàng)都為2，而此方程中x的最高次項(xiàng)為1，y的最高次項(xiàng)為2。

師：那你認(rèn)為是何曲線(xiàn)呢？

師：我們是否學(xué)習(xí)過(guò)這樣的表達(dá)式：一個(gè)變量的最高次項(xiàng)為2，另一個(gè)變量的最高次項(xiàng)為1？

生：一元二次函數(shù)。

師：該方程可以看作是x關(guān)于y的一元二次函數(shù)表達(dá)式嗎？

生：可以，那么P的軌跡為拋物線(xiàn)。

【設(shè)計(jì)意圖】新知舊知結(jié)合。

師：請(qǐng)結(jié)合P的幾何特征，給出拋物線(xiàn)的定義。

生：到定點(diǎn)和到定直線(xiàn)距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)。

師：在該定義中，將定點(diǎn)F稱(chēng)為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)。

師：橢圓定義中要求定量間滿(mǎn)足2a>F1F2。這里給的定點(diǎn)定線(xiàn)間是否有補(bǔ)充說(shuō)明？

生：定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上，否則P的軌跡為過(guò)F點(diǎn)的垂線(xiàn)。

師：很好。由此得到：到定點(diǎn)F和到定直線(xiàn)l（F不在l上）上的P的軌跡為拋物線(xiàn)。

4.深化鞏固，拓展延伸

引導(dǎo)學(xué)生得到拋物線(xiàn)的其他三種標(biāo)準(zhǔn)方程，并從焦點(diǎn)所處坐標(biāo)軸、正負(fù)半軸角度區(qū)分四種標(biāo)準(zhǔn)方程，將圖像與方程相結(jié)合。

二、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的再思考

情境引入中，學(xué)生可得到PF=PG，但不能將PG理解為動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離，即使在引導(dǎo)后認(rèn)識(shí)到動(dòng)點(diǎn)P到F的距離等于到直線(xiàn)l的距離，仍沒(méi)有體會(huì)到要尋找動(dòng)點(diǎn)和定量之間的關(guān)系。其實(shí)設(shè)置該問(wèn)題情境的目的是揭示拋物線(xiàn)的形成是由到定點(diǎn)和到定直線(xiàn)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成，而該情景的主要難點(diǎn)在于表述和提煉這一關(guān)系，模糊了主題。

結(jié)合兩節(jié)課的情況，筆者取兩種概念給定方式的長(zhǎng)處，從特殊到一般，由淺入深地探究拋物線(xiàn)的定義。以下是優(yōu)化后的方案：

問(wèn)題1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0,1）和到直線(xiàn)y=-1 的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程。

【設(shè)計(jì)意圖】由具體的拋物線(xiàn)方程入手，與一元二次函數(shù)圖像相結(jié)合，將教學(xué)內(nèi)容納入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

師：初中即學(xué)過(guò)一元二次函數(shù)的圖像是拋物線(xiàn)，今天我們通過(guò)繪制到定點(diǎn)A和到定直線(xiàn)l距離相等的點(diǎn)的軌跡也得到了拋物線(xiàn)，這是巧合嗎？會(huì)不會(huì)是拋物線(xiàn)的又一形成方式呢？

師：一元二次函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上或向下的拋物線(xiàn)。接下來(lái)，我們借助幾何畫(huà)板繪制開(kāi)口方向更為一般的拋物線(xiàn)。

活動(dòng)一：直尺、繩索畫(huà)拋物線(xiàn)的視頻展示。

活動(dòng)二：幾何畫(huà)板展示。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)畫(huà)拋物線(xiàn)的形式，給學(xué)生觀察、歸納、組織數(shù)學(xué)語(yǔ)言的機(jī)會(huì)，讓教學(xué)與學(xué)生發(fā)展相適應(yīng)。

問(wèn)題2：請(qǐng)根據(jù)繪制過(guò)程，給出拋物線(xiàn)的定義。

生：到定點(diǎn)和到定直線(xiàn)距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)。

三、教學(xué)感悟

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，思維是由問(wèn)題開(kāi)始的，有了問(wèn)題才有思考。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解滲透至關(guān)重要，教學(xué)中應(yīng)著力創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問(wèn)題情境。如何提高數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的有效性，需要我們立足課堂，在課堂教學(xué)中開(kāi)展對(duì)話(huà)交流，產(chǎn)生思維碰撞，進(jìn)而看清問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，這樣才能更好地理解問(wèn)題及相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。