在實驗驅動中實踐課堂教學
——以多邊形的內角和與外角和為例

江蘇省南通市八一中學 張 華

一、創設問題情境，引入新課內容

通過視頻展示三角形在生活中的應用，如橋梁、房屋、籃球架、新栽樹木固定架……最后展示一個三角形，然后通過問題串讓學生回答：

（1）三角形的要素有哪些？

（2）根據三角形的要素，想一想四邊形、五邊形等多邊形的要素。

【設計目的】通過分析概念，再進一步推理，可以讓學生從組織語言和表達上達成對數學概念的認知。

二、分組合作探究，實驗總結規律

活動：（讓學生回歸舊知）三角形的內角和有什么規律？是如何證明的？

分組實驗：（1）通過量角工具——量角器測量出三角形每個內角的度數，再將三個數值加在一起，看結果是不是180o。

（2）將三角形中的三個角都剪下來放在桌面上，將所有角的頂點放在一點展開，看看拼接成的角是不是平角。

猜想：四邊形的內角和是多少？用同樣的規律來驗證猜想。

可以引導學生采取分割的方法，把一個四邊形分割成兩個三角形，因為每個三角形的內角和都是180o，所以可以計算出四邊形的內角和是360o。

【設計目的】激發學生的類比潛能，用三角形的內角和定理推理四邊形的內角和，這是一種轉化歸納的數學思想。

思考：在以上三種計算四邊形內角和的方法中，你認為哪種最好？請講述你的理由。能夠得出這樣的結論：

①度量法：角度量取不精確，多邊形邊數越多，越不可取。

②拼角法：需要裁剪和拼接，操作不方便，多邊形邊數越多，此法越不可行。

③分割法：以推斷為途徑，簡單并且有理論根據，是一種幾何證明。

【設計目的】學生通過自主實踐，可以清楚地比較三種四邊形內角和計算方法的優劣，也為后面探究多邊形內角和提供最直接的方法。

思考：根據四邊形內角和的簡單推理方法，請分析五邊形內角和。

分組實驗：學生動手操作，進行小組討論、交流，尋找解答方法，共同歸納總結。有五邊形ABCDE，預測學生可能有以下幾種方法計算其內角和：

如圖1，連接AD、AC兩條對角線，五邊形分為三個三角形，故內角和為：3×180o=540o。

如圖2，連接AC，將五邊形分為一個三角形和一個四邊形，其內角和為：360o+180o=540o。

如圖3，在AB上任取一點P，連接PC、PD、PE，這樣就將五邊形分為四個三角形，另外，∠APB=180o，所以五邊形的內角和為：4×180o-180o=540o。

如圖4，在AB上任取一點P，連接PD，將五邊形分成兩個四邊形，其中∠APB=180o，故五邊形的內角和為：2×360o-180o=540o。

如圖5，在五邊形內任取一點O，向五個頂點連線(發散式)，即連接OA、OB、OC、OD、OE，將五邊形分為五個三角形，五邊形的內角和為五個三角形的內角和去掉一個圓周角，即5×180o-360o=540o。

如圖6，在五邊形外任取一點N，連接NA、NB、NC、ND、NE(拉網式)，五邊形內角和為四個三角形的內角和減去△ABN的內角和：4×180o-180o=540o。

【設計目的】在四邊形內角和的推斷基礎上去探究五邊形內角和的計算方法，這是一種循序漸進的教學方法，可以讓學生不斷地建模。在課堂上必須留給學生充足的時間合作交流，教會學生多種五邊形內角和的計算方法。交流、方法整合符合學生的認知規律和年齡特征，這正是數學中轉化規律的思想。

思考：根據四邊形、五邊形內角和的簡單推理方法，請判斷n邊形內角和的度數。請你說出發現的規律。

在n邊形中固定一個頂點，從該點可以畫出(n-3)條對角線，于是n邊形就被分成了(n-2)個三角形，從而得出：n邊形的內角和是(n-2)·180o。

總之，讓學生能夠主動合作，在實踐探究中學習數學、學好數學，是我們一線教師必須具備的教育能力。這次教研活動中，筆者感受至深，也希望這樣的活動能夠成為常態，讓自己由教書匠成為名副其實的園丁。