核心素養導向下的高中數學公式推導課的教學設計
——以“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第一課時）”的教學設計為例

福建省龍巖市永定第一中學 盧秀敏

數學公式推導課的教學設計要踐行“為核心素養而教”的教育理念，充分體現數學公式推導課的課型特征。數學公式推導課的教學設計既要關注教師的教學行為，引領教師合理創設問題情境，讓學生經歷歸納猜想、抽象概括、演繹證明、符號表達、構建模型等思維過程，又要重視學生的學習過程，促進學生的數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的發展。

一、基于核心素養的數學公式課的教學特征

數學公式是表征自然界不同事物的數量之間或相等或不相等的聯系，它確切地反映了事物內在和外在的關系，是我們從一種事物遷移到另一種事物的依據，使我們更好地理解事物的本質和內涵。數學公式推導課的教學旨在建構正確的數學公式之間的本質聯系，揭示數學公式之間的規律性及邏輯推理的聯系性。從教學結果來看，數學公式推導的教學主要是讓學生掌握不同的公式運用條件，合理運用正確的數學公式解決問題；從教學過程來看，數學公式的教學就是教師引領學生從已學習的數學公式中發現和提出合理的猜想，嚴密推理論證，獲得新數學公式，運用新公式解決新問題的過程。

數學公式的學習屬于規則學習，其學習過程一般包括公式的引入、公式的形成、公式的理解、公式的運用這四個階段。數學公式推導教學具有公式形成的過程性、公式表征的多元性、公式理解的層次性、公式運用的操作性等基本特征。因此，數學公式推導課的一般教學結構是：引入公式—猜想公式—證明公式—理解公式—辨識公式—應用公式—歸納總結。

數學公式推導教學的目標就是獲得數學公式，提升學生的數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，幫助學生形成理性的數學思維習慣。本文以“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第一課時）”為例展開論述。

1.課時目標

（1）掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式。

（2）會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角函數的求值、化簡、計算等。

（3）熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。

（4）領會觀察、發現、猜想、分析、論證、應用的數學探究的基本思維方式，培養數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算等數學核心素養。

2.課時重點

引導學生通過獨立探索和討論交流，由已學兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的其他公式，并從中了解它們的內在聯系，為靈活運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎。

3.課時難點

兩角和與差的六個公式的靈活選用、逆用及角的變換。

4.教學條件支持

教學課件采用PPT 演示，節約板書時間，有利于知識點的反復呈現；學習卡片的制作，有利于學生及時收集、鞏固知識要點。

二、基于核心素養的數學公式推導課的課堂實錄

1.復習式導入

教師：回顧上節課的學習，我們已經掌握了兩角差的余弦公式：（教 師 板 書，PPT 展 示）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，請大家在知識卡片上默寫該公式。

那么，兩角和的余弦公式是什么呢？兩角和與差的正弦、正切是否有類似的公式呢？

教師板書：

cos（α+β）=

sin（α+β）=

sin（α-β）=

tan（α+β）=

tan（α-β）=

（給學生留出猜想的時間）

【設計意圖】“溫故而知新”，已學公式的再現，為學生以舊推新，從已知事物到未知事物的探究做足了充分準備。

2.講授新課

問題1：在學習完兩角差的余弦公式后，怎么推導出兩角和的余弦公式呢？

引導學生推導公式——加法可以轉換為減法：

cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

教師：請大家將兩角和的余弦公式寫入知識卡片，并比較和與差公式的異同點，嘗試用一句話總結規律。

學生1：符號不同，形式相同。

學生2：公式左右兩邊的加減號不同。

教師：很好！觀察得很仔細，我們用一句話歸納為——同名函數相乘，異號連接。請大家完成知識卡片上的對應練習——小試牛刀：

教師：與你的猜想相符嗎？將公式寫入知識卡片吧！比較和與差的正弦公式的異同點，嘗試用一句話總結規律。

學生3：異名函數相乘，同號連接。

教師：很厲害哦！現學現用，模仿余弦公式的歸納語言，將正弦公式的特征明確指出來了。請大家完成知識卡片的對應練習——小試牛刀：

教師：將知識卡片上的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式再次默記一遍，再次對照“小試牛刀”的六個小題，相信大家能夠當場記住這六個公式了。

【設計意圖】人的認知是從簡單到復雜、從低級到高級螺旋上升的過程。本環節通過適當引導，培養學生觀察能力及應用已學知識探索新知識的能力，培養數學邏輯推理——歸納、類比能力；“規律小結”能夠訓練學生學會觀察、歸納，透過現象抓住本質，建立三角函數在角度轉換中的基本模型，培養學生的數學建模能力；及時的“小試牛刀”，幫助學生及時鞏固新知，培養數學直觀想象能力，數學運算能力。

3.例題講解

教師：在我們共同探討完了兩角和與差的六個三角函數公式之后，很重要的一點就是學以致用，我們一起來看課本所舉的例子吧。

【設計意圖】相對前面兩道例題中都是具體角度，從數學抽象的角度出發，而選擇此題，培養學生由具體到抽象的轉變，加強學生學習公式時的數學抽象能力及數學運算能力；學生之間的共同探討、擇優展示，培養了學生的團隊合作意識、競爭意識。

4.能力提升

本例題根據筆者從教的實驗班和平衡班兩種不同層次的學情出發，可靈活安排在第一課時和第二課時的教學。

【設計意圖】進一步提升學生應用公式的靈活性，同時補充三角函數化簡的重要方法——輔助角公式。在數學直觀運算中進行數學抽象的公式、規律探索，培養“直觀想象→數學抽象→數學建模”的思維邏輯及運用數學知識解決問題的能力。

5.課堂小結

教師：本節課在兩角差的余弦公式之后，推導出另外五個兩角和或差的三角函數公式，要求我們能熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。請大家再次用最快的速度默寫出這節課學習的六個公式。

6.課后作業

【設計意圖】針對不同層次的學生布置不同水平的作業，因人而異地要求學生掌握課堂實效，讓學生體會收獲的喜悅，同時獲得提升能力的機會。

三、基于核心素養的數學公式推導課的教學反思

1.注重夯實基礎，強化公式整合

使用教材，這既是執教教師分內的事，也是執教教師將學科核心素養具體落地的責任。教師應基于教材，設計“思維過程的教學”，以數學知識的發生、發展過程為載體，以合適的問題、適時的切入點引導學生的思維活動，讓學生在教師的啟發下經歷數學公式的類比—猜想—論證—歸納—建模的思維過程，在課堂教學過程中，培養數學思維、發展數學能力。

2.強化邏輯推理，提高思維能力

數學是理性思維的體操，數學教師最核心的工作就是教會學生如何數學地思考。教學中，教師要“明化思維”，簡單明了地引領數學思維歷程，使學生通過示范+模仿形成自己的思路，提高數學思考和靈活應用公式的能力。同時，通過相應的題組訓練，使學生對公式本質形成進一步認識和應用，從求值或化簡的過程中自覺、自然地學會發現問題、提出問題、解決問題，逐步形成數學建模的能力。

3.提升教師水平，發展學生素養

數學教學要注意突出數學本質教學，即在教學過程中讓學生理解數學公式的提出、形式、本質，從而把握數學思想，感悟數學特有的思維方式，鑒賞數學之美，提升數學核心素養。教學設計的過程中，從目標設計到問題拋出，從規律探究到實例運用，都是對教師教學能力的考查。授課過程的具體展示，教師需根據學情，合理整合各類資源，充分利用教學條件（PPT、實物投影、學習卡片等），幫助學生及時鞏固數學公式，靈活運用公式，達成預期學習效果。