羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式的證明及應用

劉 鋒

（湖南工學院，湖南衡陽421002）

0 引言

在剛體旋轉(zhuǎn)問題中，有很多不同的方式表示剛體旋轉(zhuǎn)后的姿態(tài)，例如旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角、四元數(shù)和軸角表示法。

其中軸角表示法中只要知道旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角就可寫出剛體的姿態(tài)矩陣。軸角表示法來源于歐拉定理：剛體作定點運動的任何位移都可以通過繞固定點的某個軸的一次轉(zhuǎn)動實現(xiàn)。歐拉定理等價于旋轉(zhuǎn)矩陣有等于1 的特征值，其對應特征向量x就是表示旋轉(zhuǎn)軸的方向。

1 軸角表示法和羅德里格斯公式

假設剛體坐標系為B（Oxyz）繞單位向量ω所表示的軸旋轉(zhuǎn)θ角，可以推導出其對應的旋轉(zhuǎn)矩陣。首先假設剛體坐標系B的z軸與ω所表示的任意軸重合，然后B坐標系繞參考坐標系A（OXYZ）的Z軸旋轉(zhuǎn)-α角使z軸在XOY平面的投影與X軸重合，然后再繞-β角，使z軸和Z軸重合，接著繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角，最后為了使z重新回到與ω軸重合的位置，可以繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角和繞Z軸旋轉(zhuǎn)β角［1］，如圖1所示。

圖1 軸角表示法

因為3次旋轉(zhuǎn)都是繞固定軸旋轉(zhuǎn)的，由基本旋轉(zhuǎn)矩陣可得：

此矩陣可以分解為：

其中S(ω)是由ω生成的反對稱矩陣。

該方程稱為羅德里格斯旋轉(zhuǎn)方程（Rodriguez rotation formula），只要知道旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸坐標和旋轉(zhuǎn)角度，就可利用此方程求出旋轉(zhuǎn)方程。例如，將剛體坐標系繞軸程為：

羅德里格斯方程還有如下3種不同的形式［2］：

其中第一種形式可以利用旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示證明。

2 旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示

假設剛體上一點P，它的位置向量為r，剛體繞方向為單位向量ω的軸以單位角速度旋轉(zhuǎn)，則P 點在參考坐標系中的線速度為：

這是一個一階線性微分方程，分離變量后，積分可得通解為：

其中r(0)是P 點的初始位置向量，eS(ω)t是一個矩陣的指數(shù)函數(shù)，由矩陣指數(shù)函數(shù)的定義有：

直接利用級數(shù)來計算旋轉(zhuǎn)矩陣R( ω,θ )較麻煩，現(xiàn)利用矩陣論的知識來簡化R( ω,θ )的計算。

其特征多項式為：

根據(jù)矩陣論中哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Cayley）定理：若n 階矩陣A的特征多項式為：

根據(jù)此結(jié)論可以只用S(ω)和( S(ω))2來表示旋轉(zhuǎn)矩陣，即：

再由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式得：

所以

根據(jù)前面的證明也可得：

代入（3）式，整理得：

上式即為修正的羅德里格斯公式。羅德里格斯公式是一種非常有效的計算eS(ω)θ的公式。

由于兩相似矩陣的的特征值相同，若矩陣A與對角矩陣Λ相似，則對角矩陣主對角線上的元素即為A的特征值。

且存在可逆矩陣P，使得：

但是并不是每一個矩陣都與對角矩陣相似，在復數(shù)域上n階方陣與其若當（Jordan）標準型J相似，即存在可逆矩陣P使得

A = PJP-1

若當標準型J主對角線上的元素即為矩陣A的特征值，設

從上式可知eA與上三角矩陣

相似，可以證明上三角矩陣的特征值是其主對角線上的元素，故eA的特征值為eλ1，eλ2，…，eλs。

從而，eS(ω)θ的特征值為1，eiθ和e-iθ。根據(jù)特征的定義，對應于特征值1，有

因為在繞軸旋轉(zhuǎn)時，軸保持不動，所以特征值1對應的特征向量就是kω（k ≠0）.

3 螺旋運動與羅德里格斯公式

由查爾斯定理（Chasles theorem）知，剛體的任何位移可以看成由沿空間特定直線的平移和繞該直線的旋轉(zhuǎn)生成的。這種平動和轉(zhuǎn)動相結(jié)合的運動稱為螺旋運動。

設旋轉(zhuǎn)軸方向為ω，沿軸方向的平移為h，繞軸旋轉(zhuǎn)的角度為θ，稱平移h和旋轉(zhuǎn)的角度θ的比值螺旋運動的步距［2］。利用單位向量ω，旋轉(zhuǎn)軸上任意點的位置向量s 就可確定旋轉(zhuǎn)軸在參考坐標系中的位置。再加上旋轉(zhuǎn)角θ和步距p，就可以定義剛體坐標系相對于參考坐標系的位姿。

在軸角表示法表示旋轉(zhuǎn)矩陣中，只有旋轉(zhuǎn)，沒有平移，所以h=0，而且這時軸通過參考坐標系原點，可得量是旋轉(zhuǎn)后的位置向量，則：

這就是一般剛體運動的羅德里格斯公式。

從上邊的證明和討論，可以看到羅德里格斯公式在剛體旋轉(zhuǎn)運動和一般運動中都有很重要的應用，利用它可以很容易計算旋轉(zhuǎn)矩陣和運動后剛體上任意一點的位置向量。