CPFS認知結(jié)構(gòu)背景下初中數(shù)學知識網(wǎng)絡圖構(gòu)建

唐萍

摘要：CPFS認知結(jié)構(gòu)背景下的數(shù)學知識網(wǎng)絡圖構(gòu)建的教學實踐探究，旨在增強學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。知識網(wǎng)絡圖可以促進學生數(shù)學思維和核心能力的形成與發(fā)展;可以幫助學生理清所學知識脈絡，優(yōu)化系統(tǒng)思維;可以推動學生親歷知識建構(gòu)過程，提升認知水平;可以引導學生自省認知不足之處，促進深入理解。

關(guān)鍵詞：CPFS認知結(jié)構(gòu);知識網(wǎng)絡圖;數(shù)學思維

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）10B-0053-04

現(xiàn)代認知心理學認為，在影響學習的諸多因素中，認知結(jié)構(gòu)是決定學習成效的一個關(guān)鍵和直接因素。本文主要探討在CPFS認知結(jié)構(gòu)背景下，通過構(gòu)建數(shù)學知識網(wǎng)絡圖，提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)和優(yōu)化學生的數(shù)學系統(tǒng)思維。

一、內(nèi)涵闡釋

2003年南京師范大學喻平等在《數(shù)學教育學報》上撰文，提出了數(shù)學學習心理的CPFS結(jié)構(gòu)。文章認為，數(shù)學理論體系的基本元素是概念和命題，CPFS結(jié)構(gòu)即概念域（Concept Field）、概念系（Concept System）、命題域（Proposition Field）、命題系（Proposition System）形成的結(jié)構(gòu)，準確地刻畫了數(shù)學知識在個體頭腦中的組織形式。[1]概念和命題是數(shù)學知識的基石，知識網(wǎng)絡圖即把某一單元或某個專題所要掌握理解的概念或命題等，用連線、箭頭連接起來，清晰地呈現(xiàn)出知識點及它們之間的聯(lián)系。CPFS認知結(jié)構(gòu)背景下的知識網(wǎng)絡圖構(gòu)建，即根據(jù)學生CPFS認知結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，圍繞某個知識單元或?qū)ｎ}，以網(wǎng)絡圖構(gòu)建的方式呈現(xiàn)的教學規(guī)劃和方法策略。

二、知識網(wǎng)絡圖的價值探尋

概念和命題通過推理組成了中學數(shù)學的邏輯體系。知識網(wǎng)絡圖的構(gòu)建過程就是梳理、獲得、組織、學習知識的過程，是培養(yǎng)學生學會學習的重要途徑，也是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的重要手段。知識網(wǎng)絡圖作為初中數(shù)學教學的一種策略，能使學生更深刻地理解知識形成與發(fā)展的過程，促進學生的靈活運用。

1.知識網(wǎng)絡圖可以幫助學生理清所學知識脈絡，優(yōu)化系統(tǒng)思維

“數(shù)學思維是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，數(shù)學教學要注重學生認識數(shù)學、理解數(shù)學、感悟數(shù)學的思維過程。”[2]教學中，引導學生對基礎知識進行梳理，理解各部分知識在發(fā)生發(fā)展過程中的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系，理清知識之間的脈絡，在頭腦中形成合理的網(wǎng)絡狀知識結(jié)構(gòu)。這個過程可以使知識結(jié)構(gòu)化、層次化、網(wǎng)絡化，便于學生理解和掌握。

許多學生在問題分析的過程中，往往不能迅速有效地提取相關(guān)知識來解決問題，這就使得建構(gòu)有序的知識網(wǎng)絡成為了初中數(shù)學教學的重要任務。學生在構(gòu)建網(wǎng)絡圖的過程中，體會知識間的相互聯(lián)系，體驗數(shù)學的思想和方法，大大提高了學生在數(shù)學認知活動中的效率，促進學生形成良好高效的對內(nèi)調(diào)控的認知策略。例如，在函數(shù)單元教學中，構(gòu)建如圖1的網(wǎng)絡圖，在學生的頭腦中建立起一個層次分明、脈絡清晰的函數(shù)單元知識網(wǎng)絡，充分體現(xiàn)函數(shù)研究的方法和邏輯順序，這個過程可以強化數(shù)學思維在學生頭腦中的認識，優(yōu)化學生的系統(tǒng)思維能力。

2.知識網(wǎng)絡圖可以推動學生親歷知識建構(gòu)過程，提升認知水平

單元教學的核心思想是系統(tǒng)思維。通過知識網(wǎng)絡圖的構(gòu)建，學生直觀把握一個單元或主題的知識體系，構(gòu)建網(wǎng)絡圖的過程就是一個持續(xù)優(yōu)化思維的過程。在數(shù)學課堂教學中指導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡圖，能夠有效發(fā)揮學生的主觀能動性，優(yōu)化學生解決數(shù)學問題的策略，形成某類問題的解決思路，是一種高效的思維策略。

例如實數(shù)單元教學，對實數(shù)按不同的標準進行分類：從是否是有理數(shù)的角度看可以分成兩大類，如圖2;從符號看可以分成三大類，如圖3。在分類構(gòu)建的過程中讓學生舉例，再通過習題加以鞏固。通過綜合的分析、比較，有效地展示了數(shù)學思維的過程，提升了學生的認知水平。這樣比單純靠記憶來學習更能促進學生進行有意義的學習，激發(fā)學生的學習興趣，知識運用和提取的效率當然也就更高。

3.知識網(wǎng)絡圖可以引導學生自省認知不足之處，拓展深度理解

“數(shù)學概念是數(shù)學思維的核心與邏輯起點，概念是數(shù)學教學的基礎。問題解決往往催生新的數(shù)學概念，概念形成過程常常就是問題解決的過程。”[3]教學中進行知識網(wǎng)絡圖的構(gòu)建，可以用來檢測學生對概念的掌握和理解的程度，可以促進學生自省認知上的不足。教學中，“學生會遇到數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的生長點和銜接點、數(shù)學思想方法的轉(zhuǎn)折點、數(shù)學思維的癥結(jié)點，這些關(guān)節(jié)點、轉(zhuǎn)折點、癥結(jié)點都是典型的思維的生惑點，這些思維生惑點的解除必須通過發(fā)展認知能力才能實現(xiàn)”[4]。例如，在代數(shù)式單元中，學生列出該單元的主要概念，構(gòu)建知識網(wǎng)絡圖，如圖4。在這個過程中，教師有目的地通過舉例，引導學生對易混淆和模糊的概念，如單項式的系數(shù)、次數(shù)，多項式的系數(shù)、項數(shù)等進行判斷分析，在不斷的完善補充中自省認知上的不足，拓展深度理解。

三、知識網(wǎng)絡圖在教學實踐中的運用

1.案例：二次函數(shù)的性質(zhì)

（1）教學目標：熟練運用公式法和配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標、對稱軸，并能運用描點法畫出二次函數(shù)的圖像;能根據(jù)所給條件適當選擇運用一般式或頂點式求出二次函數(shù)的解析式;能結(jié)合圖像理解二次函數(shù)的增減性、最值等性質(zhì)。

（2）教學過程：

問題1：已知拋物線y=x2-2x-3

①說出該拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并畫出該拋物線;

②填表總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)。

問題2：已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過點（-3，0）和（1，0），且有最大值為4，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式。（要求：運用二次函數(shù)的不同形式解決問題）

問題3：根據(jù)問題1和問題2的解決，構(gòu)建二次函數(shù)知識網(wǎng)絡圖。

遵循“從特殊到一般，再從一般到特殊”的思想，構(gòu)建二次函數(shù)知識網(wǎng)絡圖，如圖5。

2.感悟與思考

（1）知識網(wǎng)絡圖可以將課堂教學層次推進，優(yōu)化解題方法

“問題”是課堂教學的“引子”，是教學生成的認知動力，問題解決是指學生個體在面對問題時，“引發(fā)認知需要，在認知需要的驅(qū)動和導向下，使思維沿著認知需要的方向運行，由此不斷推動個體知識的生成”[5]。在設計有效的數(shù)學活動時，涉及兩個重要環(huán)節(jié)，即讓學生明確學習任務的問題情境，以及可供學生進行有效活動的問題串。教學中要合理設置能啟發(fā)學生思考的有針對性和代表性的問題，幫助學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)。作為情境導入的問題1，圍繞二次函數(shù)的性質(zhì)這個核心內(nèi)容，結(jié)合學生的理解進程設計問題，驅(qū)動學生進行層次性探索，構(gòu)建二次函數(shù)知識網(wǎng)絡圖。對二次函數(shù)的頂點、增減性等核心概念加深了理解，同時鞏固了解決二次函數(shù)常用的基本方法如配方法、公式法。通過前后知識之間的聯(lián)系，教師在教學時進行恰當?shù)匿亯|，從特殊到一般、由易到難，將探究二次函數(shù)的性質(zhì)這一課堂教學活動層次推進，幫助學生構(gòu)建數(shù)學學習的經(jīng)驗系統(tǒng)，優(yōu)化學生的解題方法。

（2）知識網(wǎng)絡圖可以對數(shù)學知識進行梳理，提高解題技能

知識網(wǎng)絡圖將重要的概念和思想方法融合在一起，搭建了一個數(shù)學學習場，讓學生親歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程。頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）與一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）是初中數(shù)學教材重點研究的兩種形式，這兩種形式既有聯(lián)系也有區(qū)別，決定二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵就是關(guān)系式中三個系數(shù)。問題2的解決，關(guān)鍵是如何建立解析式。而用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是初中二次函數(shù)學習的一個重要內(nèi)容，二次函數(shù)中許多問題的解決都是建立在正確求出解析式的基礎上，運用交點式也可以解決這個問題。教學中，通過對二次函數(shù)性質(zhì)探究的活動過程，將相關(guān)知識運用網(wǎng)絡圖進行梳理，完善了學生的解題思路和方法，提高了學生的解題技能。

四、結(jié)語

數(shù)學教學中，精心選擇的例題和練習題，結(jié)合教學任務選擇的適當?shù)姆椒ú呗裕怀隽烁拍詈兔}的本質(zhì)屬性，不僅僅是知識與技能的傳授，更是數(shù)學方法和數(shù)學思想的潛移默化滲透。通過知識網(wǎng)絡圖構(gòu)建這一過程，除了梳理知識間的邏輯關(guān)系，學生更深刻地理解了知識的生成過程，逐步構(gòu)建良好的數(shù)學學習的CPFS認知結(jié)構(gòu)，頭腦中的知識“網(wǎng)絡化”“立體化”，數(shù)學思維自然地生長與延伸，數(shù)學認知不斷地豐富，有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

參考文獻：

[1]趙躍.初中生函數(shù)概念的應用水平及其CPFS結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀調(diào)查及相關(guān)性研究[D].南京：南京師范大學， 2013：4.

[2]王亮亮.關(guān)注價值導向 突出知識本質(zhì) 體現(xiàn)思維廣度與深度 引導教學[J].數(shù)學通報，2019（7）：29.

[3]羅海霞.數(shù)學“生成知識”教學怎么“教”[J].數(shù)學通報，2019（7）：37.

[4]黃曉學.少教多學模式研究[M].天津：天津古籍出版社，2016：100.

[5]李祎.數(shù)學教學生成研究——一種基于認知的觀點[D].南京：南京師范大學， 2007：37.

責任編輯：丁偉紅

The Construction of Junior High School Mathematical Knowledge Network Diagram under the Background of CPFS

Tang Ping

（Department of Education of Haizhou Education Bureau， Lianyungang 222000， China）

Abstract： The teaching practice exploration of the construction of mathematical knowledge network diagram under the background of CPFS cognitive structure aims to enhance students' ability to discover and ask questions， analyze and solve problems. The knowledge network diagram can promote the formation and development of students' mathematical thinking and core abilities; it can help students clarify the knowledge and optimize system thinking; it can promote students to experience the process of knowledge construction and improve their cognitive level; it can guide students to introspect their insufficient cognition， promoting in-depth understanding.

Key words： CPFS cognitive structure; knowledge network diagram; mathematical thinking