在符號化操作中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

徐宏

“抽屜原理”又稱鴿巢原理，是人教版六年級下冊的內(nèi)容。教材借助把4支鉛筆放進3個筆筒的操作情境，充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，讓學(xué)生自主思考、證明、交流，在實際操作中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力。

符號化提升操作的有效性。教學(xué)中，筆者首先從3支筆、2支筆筒開始，然后在“把4支筆放在3個筆筒里，又可以怎么放”的環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)符號進行操作。

師：把3支鉛筆放在2個筆筒里，可以怎樣放？

生1：（3，0）;（1，2）。

師：如果一個筆筒中有0支筆，另外一個筆筒一定就有幾支筆？

生2：3支。

師：如果一個筆筒中放1支筆，另外一個筆筒肯定就有幾支筆？

生3：2支。

師：有沒有這樣一種可能，一共3支筆，2個筆筒中都盡可能地放最少的筆，有沒有可能每個筆筒中的筆都少于1支？

生4：沒有。

師：把4支鉛筆放在3個筆筒里。猜猜看，可以怎樣放？

生5：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

將抽屜原理有機的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，符號化的數(shù)學(xué)操作為數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理提供了有機載體，有利于學(xué)生有序思考問題。

合情追問發(fā)展推理能力。在互動交流環(huán)節(jié)，筆者拋出一連串的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思維從枚舉操作自然過渡到平均分。

師：如果我要想讓每個筆筒中的筆盡可能的少，你會怎樣放？

生1：（2，1，1）。

師：有沒有辦法讓每個筆筒中的筆盡可能是最少的？最少的時候這個筆筒里有多少支筆？有沒有比這個還少的情況？

生2：當(dāng)我們把4支筆向3個筆筒中平均分配的時候，就會使得每個筆筒中的支數(shù)盡可能最少。

師：這種分法，實際是怎么分的？

生（齊）：平均分。

師：對。現(xiàn)在還有一個問題，如果采用平均分的方法，3個筆筒各放1支筆之后，剩下的這1支筆怎么放？

生3：這1支筆肯定要放在其中一個筆筒里。

師：也就是說，即使是采用平均分的方法，其中肯定也有一個筆筒中筆的支數(shù)不少于2支。再看看前面的兩種方案，（4，0，0）、（3，1，0）。這兩種方案中筆筒中筆的支數(shù)有什么特點？

生4：它們中間總有一個筆筒中筆的支數(shù)不少于2支。

筆者繼續(xù)提出問題：“如果5支筆，放在3個筆筒里，你感覺會有什么結(jié)果？”學(xué)生結(jié)合猜想操作體會到：要想保證這個筆筒里的筆最少，就一定要保障每個筆筒的筆數(shù)盡可能一樣多。

發(fā)散推進促進模型建構(gòu)。在學(xué)生獲取了對抽屜原理的初步認識后，教師繼續(xù)提出發(fā)散性問題，進一步提升學(xué)生對抽屜原理數(shù)學(xué)價值的理解，深入完善學(xué)生對抽屜原理的認識，使得學(xué)生的探究說理貫穿于符號化操作的全過程，提升學(xué)生對“平均分”的理解。

師：現(xiàn)在8支鉛筆和3個筆筒，把8支鉛筆放在三個筆筒里。猜猜看，可以怎樣放？

生：不管怎樣放，總會有一個筆筒中筆的支數(shù)不少于3支。

師：為什么？

生：因為8÷3=2（支）……2（支），2+1=3（支）。

師：為什么是2+1=3支。

生：因為不管怎樣放，總有一個抽屜中至少要放入“商+1”個物體。

最后，筆者通過“8支筆放在3個筆筒里”的具體實例，讓學(xué)生充分地感受、體驗、發(fā)現(xiàn)抽屜原理，幫學(xué)生理解并總結(jié)出抽屜原理的一般規(guī)律：不管怎樣放，總有一個抽屜中至少要放入“商+1”個物體。學(xué)生建構(gòu)了抽屜原理的思維模型，鍛煉了數(shù)學(xué)推理能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進一步提升，同時感受到數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用價值，真切體會到數(shù)學(xué)的魅力。

（作者單位：應(yīng)城市實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏