基于圖式理論的物理習題設計初探

榮萬軍

“圖式”是指一種有組織的知識結構，是圍繞某一主題組織起來的知識的表征和貯存方式。本文以“磁場中軌跡圓圓心的確定方法”為例，基于已存的圖式和變化的圖式對教學設計進行探究。

一、情境導問鎖定教學起點

然后，教師再進行情境導問：要畫出軌跡，關鍵步驟是找出軌跡的圓心，確定圓心的方法有哪些呢？大多數學生只有一些碎片化的認識，教師可以通過幾個例題來系統性地研究軌跡圓圓心的確定方法。

1.依靠基礎題型，激活已存圖式

如圖2，質量為m，電量為q的帶負電粒子，與AB邊成60°從M點進入勻強磁場。已知磁場垂直紙面向里，寬度為d，磁感應強度為B。

（1）若粒子的速度v=[qBdm]，求該粒子在磁場中的運動時間。

（2）若粒子從N點射出磁場，且MN=d，求粒子的速度大小。

（3）若要讓粒子從AB射出磁場，求粒子速度的最大值。

第（1）問難度不大，目的是讓學生調用已存圖式：過入射點作入射速度的垂線，圓心在垂線上到入射點距離為r的位置。第（2）問難度略有上升，教師強調學生已存的圖式：過入射點作入射速度的垂線，作入射點和出射點連線的中垂線，兩垂線的交點即為圓心。然后，教師引導學生反思：找圓心的本質是找圓的兩條直徑的交點，而直徑是弦的中垂線或者是過切點作圓周切線的垂線。第（3）問，大多數學生在輕松確定第一條半徑所在直線后出現了思維障礙，教師啟發學生從粒子速度很小時開始思考，逐漸增大速度，速度超過某個值后從CD射出，則剛好不從CD射出時為最大速度，其軌跡與CD相切，切點處速度（視為出射速度）方向與CD平行。通過這樣的引導后，由于沒有出射點，學生依舊找不到圓心，教師可以如下啟發學生：

師：軌跡與CD的切點必然在哪里？

生1：在CD邊上。

師：找不準的時候，先在CD上估計某點E為切點（視為出射點），過E點作CD的垂線，兩垂線必有一個交點O，若交點為圓心必有什么結論？

生2：OM=OE。

師：若發現OM≠OE時，怎么辦？

生3：在CD上移動E點，直到OM=OE。

師：這種方法可以叫作“估計法”，也是必須掌握的基本方法。

2.題后反思總結，培養學科素養

教師先規定入射點A是找圓心的一個要素，問學生上題共出現了哪些要素。學生思考找到另外四個——入射方向B、出射點C、出射方向D、半徑E后，教師再問確定圓心最少需要幾個要素。學生通過上題可以猜出是三個。教師歸納：只要知道其中任意三個就可確定圓心，這樣的方法可以叫“知‘三求‘二”。教師讓學生運用數學知識，推測共可能出現多少種情形。有的學生用羅列法，有的用排列組合，最后都得出結論：[C35]=10種。最后，教師帶領學生根據可逆性進行歸類并取名：①ABE、CDE：直接法;②ABC、ACD、ACE：中垂線法;③ABD、BCD：估計法。沒歸納的兩種情況（④BDE：角平分線法;⑤ADE、BCE：動圓法）比較復雜，需要學生的思維認識再上一個臺階。

二、思維進階渡過最近發展區

通過上面的例題，學生可以掌握估計法。但角平分線法和動圓法是估計法的高階變化，學生難以理解。因此，后面兩種方法依然要從找要素和估計法的思路講解。

1.估計法升級1代：角平分線法

如圖3，一帶電質點，質量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域，為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場，若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這圓形磁場區域的最小半徑，重力忽略不計。

結合上面的例題，學生容易找出BDE三要素，會嘗試知“三”求“二”的方法，也知道作兩速度的垂線，交點為圓心[O′]。難點在于沒有入射點和出射點，多數學生無法動手。此時，教師先引導學生回憶估計法，再在速度方向上估計點P為入射點、點Q為出射點，然后移動P、Q，當[O′P]=[O′Q]=r時，[O′]即為圓心，接著畫出軌跡，發現圓形磁場區域的最小直徑為PQ。隨之，題后反思：若r改變，則[O′]變，但[O′P]=[O′Q]=r不變，即[O′]只能在兩速度方向夾角的補角的角平分線上運動，因此稱為角平分線法，即直接延長兩速度相交一點并作出角平分線，從而快速確定圓心。

2.估計法升級2代：動圓法

如圖4，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小[B]，磁場內有一塊平面感光板[ab]（足夠長），板面與磁場方向平行，在距[ab]的距離[L]處，有一個點狀的放射源[S]，它向各個方向發射[α]粒子，[α]粒子的速度都是[V=qBLm]，現只考慮在圖紙平面中運動的[α]粒子，求[ab]板上方被[α]粒子打中的最遠點到[S]的距離。

這道題，學生容易發現A、E兩個要素，難在第三個要素（出射方向）。教師分步引導學生：①要求打中的點，即意味出射點在[ab]上。②因[α]粒子沿逆時針方向運動，故相當于將一個圓繞[S]點逆時針旋轉，因此稱為動圓法。③用道具（圓）旋轉一周，軌跡圓會與[ab]相切于兩點[P1]和[P1′]，如圖5，故上方最遠點為[P1]。④無道具圓時，要用估計法：以入射點為圓心，以[L]為半徑畫圓，再過[P1]點作[ab]的垂線交圓于[O1]點，移動[P1]使[O1P1]=[L]，則可確定圓心[O1]，如圖5。

用一個框架（知“三”求“二”）結合3道例題，依托學生已有的圖式，不斷延伸變化，形成更復雜合理的找圓心圖式，提升了學生的解題能力，培養了學生的核心素養。

（作者單位：利川市第五中學）

責任編輯? 張敏