“數與代數”教學如何培養數學學科核心素養

姜楚華

“數與代數”是小學數學的核心內容之一，涉及“數的認識”“數的運算”“式與方程”“正比例、反比例”“探索規律”等內容。發展和培養數學學科核心素養，是“數與代數”教學的核心目標之一。

一、在“數的認識”教學中發展學科核心素養

素養蘊含在過程中，只有經歷過程，才能培養學生的素養。

（一）經歷數概念的抽象過程、運算過程，發展數學抽象素養、運算能力

數學抽象具有不同的階段性。在小學數學教學中，數概念的抽象可以從實物抽象→替代物抽象（亦稱半抽象）→符號抽象（符號化）逐級進行。之所以分層分級抽象，一方面是由小學生的認知水平決定的，另一方面是逐步培養學生數學抽象素養的需要。在小學一年級“數的認識”起始教學中，“經歷從日常生活中抽象出數的過程，會數1～5個物體的個數，會用1～5表示物體的個數，知道1～5的順序，并會認、讀、寫1～5”作為課程教學目標，其中，“經歷從日常生活中抽象出數的過程”是素養培養目標，其直接目的是培養數學抽象素養;而“會數1～5個物體的個數，會用1～5表示物體的個數，知道1～5的順序，并會認、讀、寫1～5”則是知識技能目標要求。如果省略“經歷從日常生活中抽象出數的過程”，而采用死記硬背的方式直接讓學生達成知識技能目標，的確可以“速成”，但是學生未必能夠獲得深度理解，更重要的是，學生喪失了一次發展數學抽象素養的良機。

【案例1】新加坡小學數學教材“1～10的認識”教材內容

如下圖，情景圖1是實物直觀，從實物1個西瓜、2根香蕉、3粒桑椹、4個香瓜、5個鴨梨、6顆櫻桃、7個漿果、8個芒果、9個柿子、10粒草莓、0個（空無所有）水果之中抽象出數字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、0。

情景圖2采用實物直觀、利用連線方式體現數字的基數屬性，即“松鼠”“堅果”兩個集合一樣多，都是5個（元素），從中抽象出數字5。

只有幫助學生親身經歷一個一個地數1個西瓜……0個水果的過程，親身經歷“5只松鼠吃堅果，剛好每只一個堅果;5只米老鼠吃胡蘿卜，4個胡蘿卜不夠吃——有一只米老鼠沒有吃到胡蘿卜”的過程，積淀“數”的直接經驗，才能逐漸形成初步的數學抽象素養。

（二）把握數學本質，感悟十進制中所蘊含的數學思想

小學“數的認識”包含自然數、整數、分數、小數。學習“數的認識”，并非僅僅讓學生掌握相應的知識和技能，而是要引導他們經歷抽象、運算與建模等過程，在掌握基礎知識、基本技能的同時，體驗基本數學思想、積淀直接的數學活動經驗，發展數學學科核心素養。

以“自然數的認識”為例。在自然數的抽象過程中，理解作為基數的自然數和作為序數的自然數是主要目標，而識別、讀寫自然數是學習目標之一。

【案例2】小學數學人教版（生本學材2019年版）0～5的認識（數字1、2、3、4、5的抽象過程）

圖3清晰地表達了作為基數的1、2、3、4、5的抽象過程：從1頭獅子、1只老虎之中，抽象出1個點，表達數量1，進而抽象出數字1，這個過程本質上是獅子的集合與老虎的集合等價，表達它們共同屬性的量是1;同樣，企鵝的集合與青蛙的集合等價，表達它們共同屬性的量是4;天鵝的集合與海豚的集合等價，表達它們共同屬性的量是5。

圖4則比較清晰地表達了1、2、3、4、5的序數的屬性，刻畫了數“數”的詳細過程?？ㄍㄈ宋餀C器人說的話強化了學生親身操作的過程：1+1=2表達“1的后繼數是2”，2+1=3表達“2的后繼數是3”，3+1=4表達“3的后繼數是4”，4+1=5表達“4的后繼數是5”。其數學原理是皮亞諾公理體系——自然數的序數理論。

與案例1新加坡小學數學教材相比，新加坡小學的數學教材雖能體現出數字1、2、3、4、5的基數屬性，但并未充分體現出數字的抽象過程，人教版（生本學材2019年版）既能鮮活地體現數字1、2、3、4、5的抽象過程，又能將數字1、2、3、4、5的基數屬性和序數屬性體現出來，而只有幫助學生親身經歷數字抽象的過程，才能形成初步的數學抽象素養。不僅如此，在“自然數的認識”中，十進制中蘊含著深刻的數學思想，雖然自然數無窮無盡，但僅用有限的10個數碼0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和數位就可以表達。用有限的符號表達無限的元素是數學結構的典型特征，幫助小學生初步感知這種思想，有利于他們更深刻地體會“化繁為簡”“追求簡捷有序”的數學思維特點，間接地培養數學抽象素養。

二、在“數的運算”教學中培養數學核心素養

（一）在運算法則的形成過程中發展數學推理素養、數學抽象素養

“數的運算”涵蓋自然數、整數、小數、分數四則運算，運算法則是其中的核心內容。采取歸納方式教學運算法則，可以有效培養學生的數學推理素養。

【案例3】交換率a+b=b+a的歸納式教學

（1）教師引導學生分析1+2與2+1、3+5與5+3，歸納得出1+2=3、2+1=3，1+2=2+1以及3+5=5+3等。由此提出猜想，a+b與b+a應該相等。

（2）如圖5所示，教師站在學生中間，左手拿a支鉛筆，右手拿b支鉛筆，教師左邊的學生看到的是從后向前數，即a+b支鉛筆，教師右邊的學生看到的從前向后數，即b+a支鉛筆。同一組物品，從不同的角度看到的結果不同，但都是“加”。

（3）闡述“加”的含義——將兩組物體a支、b支合放在一起，“不是你吞并我，也不是我吞并你，而是合在一起組成一個新的整體”，從而，從正面和背面看到的結果是一致的，這就是5+4=4+5，一般情況是a+b=b+a。

【案例4】自然數乘法法則的抽象過程

圖6是新加坡教材中表達的乘法2×5=10的抽象過程。用蘋果圖片代表紅蘋果，每組圖片包含5個蘋果，共兩組，一共多少個蘋果，是實物層面的抽象。在數軸線上表達上述過程，即：每個格代表1個蘋果，5個格代表5個蘋果，兩組就是“每次跳5個格、連續跳兩次”，到達第10個格。這是替代物層面的抽象。經過兩次抽象之后，蘋果的其他屬性全部被剝離，僅剩下數量這個屬性了，數數軸上的格子即可發現一共10個。用數學符號表達上述過程，即2×5=10，這是符號層面的抽象。

幫助學生完整地經歷實物層面的抽象→替代物層面的抽象→符號層面的抽象的2×5=10的抽象過程，而不是直接給出2×5=10的結果，不僅能幫助學生獲得對乘法法則的深刻理解，而且引導他們經歷了數量關系的抽象過程，發展了學生的數學抽象素養。

（二）在“數的運算”教學中培養數學抽象素養、數學運算能力和直觀想象素養

第9期文章介紹了借助“10個雞蛋一盒”學習“兩位數加一位數的進位加法”的案例。實踐表明，借助生活中的一整盒的經驗，絕大多數學生能自然地想到將空出的3個位置補齊湊成一整盒，這樣計算最方便，這就是“將4拆成3和1，3與27湊成3整盒”最樸素的思想來源。這個教學過程的核心是幫助學生將生活經驗變成數學經驗，讓他們在經歷數學逐級抽象的過程、在習得數學知識技能的同時，獲得數學抽象、直觀想象的經驗，既理解知識，又提升數學抽象能力和運算能力。

（三）在“數的運算”“式與方程”“正比例、反比例”教學中突出數學建模過程，培養初步的數學建模素養

小學“數的運算”中包含有兩個重要數學模型，一是加法模型，另一個是乘法模型?！笆脚c方程”“正比例、反比例”中包含方程模型、乘法模型等模型。幫助學生經歷數學建模的完整過程，才能逐步培養學生的數學建模素養。

【案例5】加法模型

人教版（生本學材2019年版）B版“6的認識”中出示的這個情景（如圖7），需要逐層分析。

（1）發現問題：從荷葉情景圖中，你能讀出哪些信息？

（2）提出數學問題：①一共有幾只青蛙？②跳入水中之后，還剩下幾只青蛙？③青蛙比蜻蜓多幾只？

（3）分析、解決問題：①荷葉上有4只青蛙，有2只青蛙即將跳入水中，一共有4+2（只）青蛙。②一共有6只青蛙，有2只即將跳入水中，跳入水中之后還剩下6-2（只）青蛙。③有6只青蛙，4只蜻蜓，青蛙比蜻蜓多6-4（只）。問題①實際上利用了“部分量之和是總量”的加法模型;問題②實際上利用了“部分量之和是總量”的加法模型的變形;問題③實際上利用了“部分量之和是總量”的加法模型的變形。

案例5中，如果教學僅僅定位在“認識6”、獲得6的分解和組合，那么教學目標就只是知識技能目標，明顯是不科學的，因為滲透“加法模型”、培養初步的數學建模素養，也是小學一年級數學可以實現的目標。同樣的，“式與方程”“正比例、反比例”的教學也需要幫助學生經歷模型的構建過程。如，方程模型的建構，要經歷“發現現實問題中的量及量與量之間的等量關系[？]用自然的語言表達等量關系[？]用半符號語言或直接用符號語言表達等量關系[？]用含有未知數的式子ax±b表達等量關系”的過程，而不是直接設未知數為x，得到方程ax±b=c。

三、在“數的運算”綜合運用、“探索規律”、“式與方程”和“正比例、反比例”中發展數學推理能力、運算能力

推理是數學的基本思維方式，推理能力的發展應貫穿在“數的認識”“數的運算”“式與方程”“正比例、反比例”等的教學中，而在“探索規律”和“數的運算”綜合運用中更加突出。

（1）計算下列三個算式，你有什么發現？

（2）用剛才的發現，先猜一猜45×11的積是多少，再用豎式實際算一算，看看你的猜測是否正確、是否需要修改你的猜測，最后用11×63、11×87再驗證你修改后的結論。

（3）總結你的發現，說一說其中的道理。

嘗試著驗證猜測，就不再是兩位數乘兩位數乘法的簡單重復訓練了，而變成螺旋上升、呈梯度深化的歸納推理的訓練：學生從10×11=110，14×11=154，16×11=176中，似乎可以得出“乘積是三位數，百位都是1，十位數字是第一個因數兩個數位數字之和”;當學生分析45×11=495后，往往會修改自己的猜測，部分學生馬上得出“兩邊一拉，中間一加”的猜測，即“將乘數45的兩位數字一拉，中間放上這兩個數字之和4+5，即9，得到的數字495就是乘積”;同時，還可以用11×63或者自編題目，如11×87、11×75等，驗證自己的“發現”，即先猜11×63是多少，再用列豎式計算的方法加以驗證。當學生用11×87驗證時就會發現，8與7之和“”已超過10，此時，結果還是87嗎？從字面分析，如果還是這個規律，那么，結果一定是8157，而11大約是10，87大約是90，二者的乘積是90×10=900左右，絕不可能是8000多的值。猜想此時不成立！

仔細分析可以發現，如果兩數字之和大于10，而十位數字上的一個十相當于一個百，此時應將8與7之和的十位數值1進到百位數值8上，即此時應該是957。利用豎式筆算計算11×87可以驗證，積的確是957。于是，上面的規律應該修正為：×11，積是“兩邊一拉，中間一加，如果加的結果不超過10，積就是將加的結果放在百位所得的數字，如果中間加的結果超過10，需要將所得的十位數字進到百位上”。

這種設計的真正意圖在于，在鞏固“兩位數乘兩位數”基礎知識、基本技能的過程中，讓學生經歷歸納、猜測的思維過程，獲得“個案1、……、個案n→歸納出一個共性規律，猜測→驗證自己的猜測→得出一般結論”的直接經驗和體驗，經歷一次“數學家式”的思考過程，體驗創新的快樂，而教學不是在知識技能的簡單重復上下功夫，而是按照知識技能的復雜程度、學科思維的深廣度、待解決問題的繁難程度等多條線索交替螺旋上升，進而讓學生獲得知識技能形成的經驗、獨立思考的經驗、猜測發現的直接經驗和體驗，培養數學推理能力。

【案例7】月歷中的規律

在2020年10月月歷中：

（1）任意圈三行三列（如上表中的綠色方框）包含9個數，它們的和是多少？你能推斷任意一個這樣的方框之中9個數之和的一般計算方法嗎？

（2）如果任意圈兩行兩列四個數字，比如上表中的黃色部分，它們對角交叉相乘的積的差是多少？你能推斷任意一個這樣的方框之中4個數對角交叉相乘的積的差的一般計算方法嗎？

問題（1）中，表中綠色方框中的9個數字的和是126，即中間格子中的數14與9相乘的積。若用a表示方框中間的數，則方框中的所有數可以表示為下表所示的情形：

[a-8??? a-7 a-6 a-1 a?? a+1 a+6 a+7 a+8 ]

很顯然，這9個數的和（a-8）+（a-7）+（a-6）+（a-1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）等于9a，是最中間的數字a的9倍。因此，我們判斷，任意一個這樣方框中的9個數的和都是中間這個數字的9倍。

問題（2）中，對角交叉相乘的積的差是7，即4×10-3×11=7。再換另外一組試一試，比如14、15與21、22，結果是15×21-14×22=7，規律依然成立。驗證這個猜想需要尋找普適性的規律，即引入字母表達任意的數。設任意圈的兩行兩列（包含4個數字）的第一個數字為b，那么，另外的三個數字必定為b+1、b+7、b+8，于是，交叉相乘的結果是（b+1）（b+7）-b（b+8）=bb+b+7b+7-bb-8b=7，結果的確與b的取值無關。

用字母表示是由特殊到一般的過程，而由字母求值、利用數學公式求值，是從一般到特殊的過程。它可以幫助學生進一步體會字母表示的意義，發展學生“從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征”的本領。這種成分就是數學抽象素養的重要組成部分。

[本文是中南民族大學2019年校級重點教研項目《卓越小學教師課程體系改革實踐研究》（項目序號：JYZD19034）成果]