探析數學史中的數學思想方法與數學教育

閻淑榮 劉法泉 柳秀蘭

摘 要：數學在人類社會發展中發揮著重要的作用，可以說，數學的發展其實也就是人類科學技術的發展。在此，本文主要從函數、極限以及化歸三大方面對數學史中的數學思想方法進行深入探究，并給予了人們深刻的啟發：要想培養優秀的數學人才，需要從培養人的思維習慣方面下手。

關鍵詞：數學史;數學思想方法;數學教育

數學史不僅是人類科學技術的發展史，更是人類文明的進步史，數學上的進步在很大程度上體現著人類社會的發展。從最初的歐式幾何到微積分、現代數學，再到近代數學，數學在每一階段的發展都與其所處時代的科學技術、政治、經濟以及社會等有著緊密的聯系，絕大多數人類科學技術的實現都將數學充分利用了起來，就拿芯片技術來說，如果沒有先進的算法，芯片技術還能實現嗎？因此，有必要深入探索數學史中的數學思想方法以及數學教育，以確保對數學思想的更好應用。

一、數學史中的數學思想方法

深入分析，數學已經有4000多年的發展史，其內容的廣度和深度是很難預測的，尤其是其中的數學思想和方法非常豐富，但是，深入分析發現，經典思想主要有三種：函數思想、極限思想以及化歸思想，這三種思想是當前解決數學問題的重要工具。

（一）函數思想方法

函數思想是數學中最為常見且在其他學科中經常使用的概念，其中想要表達的意義已經遠遠超出當前的數學范疇，在對經典數學進行深入分析時，函數就是其中必不可少的內容。對當前數學教材中的函數知識分析發現，其不僅是初等數學中的主要內容，在高等數學中同樣占據著核心地位。函數思想在數學中的融入使得傳統的常量數學轉變成了變量數學，辯證法在數學中得到了廣泛的應用。不僅如此，物理、化學以及均是多個領域都與數學中的函數思想有了緊密的聯系，例如：物體冷卻現象、樹木的生長以及人口增長率等，雖然函數思想在不同內容中的意義不盡相同，但是它們都適用于同一個數學模型中，如下：

這個數學模型中主要表示的是當α0，γ不變時，上述提到的具有不同意義的問題可以轉化成關于周期t的函數。

正是上述函數思想的應用，很多相對復雜的問題都能轉化成統一的處理方式，可以用數學家F·克萊因的話闡述，教育家可以將數學課上的重要問題利用變量和函數進行解決。

（二）極限思想方法

極限在函數研究中發揮著非常重要的作用，是現代數學中較為常見的一種思想方法，也是當前很多數學概念建立的基礎，在分析問題和解決問題上也有著重要意義。極限思想無論在哪一方面的數學研究中都得以體現，正是因為具有這種思想方法，數學才能在各個領域中得到廣泛的應用。因此，筆者對極限思想的發展歷程進行了深入的分析，從中得知，極限思想的發展主要有四個階段：第一，萌芽時期，我國偉大哲學家莊子提到的“一日之錘，日取其半，萬世不竭”以及國外相關專家構建的窮竭法都能夠體現出極限思想;第二，發展階段，牛頓、布萊尼等創立的微積分，將極限研究成果充分利用了起來，以此解決實際問題，這就使得極限思想得到了一定的發展;第三，爭論階段，實際上，牛頓和布萊尼并沒有將極限思想嚴謹的闡述出來，從而也就產生出現了不能自圓其說的觀點，例如：級數的收斂以及發散應用過程中出現的悖論等。而相對嚴密的極限思想主要是從波萊諾、柯西等學者的工作開始的，經過Weierstrass的進一步發展，從而形成了一門較為完整的“數學分析”學科，正是這一時期，極限思想變得更加嚴密，這也在一定程度上帶動了微積分學的發展。

深入分析，極限思想方法在現代數學中得以更好的發展，主要就是因為極限思想和方法在推動數學進步的過程中，涉及到了物理、化學、地理等多個領域，解決了各個工程領域中的實際問題，從而才能為當今社會背景下科技水平的提升以及經濟的發展提供有力支持。

（三）化歸思想方法

深入分析，當前數學中所包含的化歸思想意義有宏觀和微觀之分，從宏觀方面來看，其主要體現的是數學家在思考問題時與一般科學家不同的見解，這是后續分析問題、解決問題并形成數學構想的重要條件;從微觀方面來看，這一方面的意義主要是數學家在解決數學問題的過程中發現問題、分析問題，并將其與已經解決的問題結合分析的過程。深入分析數學史上有名的化歸思想，1944年發表的《怎樣解題表》是最為典型的化歸思想著作，其將化歸思想在解決問題上的精華闡述了出來。在這張表中，G·波利亞還將數學解題過程概括成了發現問題、分析問題、解決問題以及回顧問題的過程，而四個思維階段的主要目的就是鍛煉人在數學內容上的理解、轉換、具體實施以及反思的能力，而且，波利亞還設置了一系列的問題，啟發人們在這四個思維框架中進行解題。上述的這種思維過程其實就是變幻問題，并將其轉化為簡單內容的過程，將復雜的問題不斷化歸，最終歸結成一個較為熟悉的簡單問題，模式如圖1：

以化歸思想來解決實際性的問題的方法也就是化歸法，這種方法在中學數學中非常常見，幾何代數中的數形結合、解方程中的換元法、待定系數法等都將化歸思想充分利用了起來，以此來簡化題目，為后續解題提供便利。

各個分支中問題的解決也經常用到化歸法，例如：數學分析中的換元法以及三角函數的萬能替換法等，其與中學數學中相關問題的解題方式是相同的，如：一般情況下，無限個數的求和是不能得到結果的，而如果將無限個數的求和轉化為有限個數的極限求和就可以得出最終結果，這樣做也在一定程度上上解決了數項級數的斂散性問題，為相關問題的解決明確了具體的方法。

總之，數學中的化歸思想方法不僅在相關數學領域的問題解決過程中發揮著重要意義，也廣泛應用于物理、社會等領域中。切實做好這一思想方法的培養工作，對于提升學生的數學思想和問題解決能力非常重要，尤其可以幫助剛步入大學的學生盡快從中學思維模式中轉化過來，形成良好的思維模式。

二、數學史中的數學思想方法教育

在數學問題上，無論是數學家發現問題的過程還是解答問題的過程，都可以充分體現出其數學思維方式。無論是數學史上教育的成功還是失敗，其中都揭示了一個非常重要的規律，那就是實際教學過程中要將知識的內在聯系體現出來，發現問題中的思維規律，從而為學生數學思維能力的培養提供保障。

從根本上來看，數學史對于數學思想方法的傳播是一個層層遞進的過程，貫穿于整個數學學習過程中，其中，概念的形成、推論以及相關習題的推導都能夠將數學思想體現出來。此時，教師就可以抓住這一契機，引導學生理解相關數學概念的同時，形成良好的數學思維習慣，及時發現問題、解決問題，形成一種辯證思維。

數學史中主要體現的是數學家思想方法的故事，在實際解題過程中都能直接體現出相關概念、定理的應用，教師應用數學思想方法開展數學工作，也會讓學生在潛移默化中利用數學，從而使學生獲得能夠解決日常生活實際問題的思想方法。

數學中的方法和概念是數學思想的深入體現，教師在教學中完整的表述相關定義，可以引發學生的思考，從而有利于培養其綜合思維能力，促進學生的全面發展。這也是當前數學史對實踐教育的重要意義。

三、結束語

總而言之，數學思想方法在數學以及其他各個領域中都得到了較為廣泛的應用，其中，函數、極限以及化歸三大思想方法是較為典型的數學思想方法，其能夠很好的解決各個工程領域的實際問題。而且，通過深入分析發現，數學史中的數學思想方法教育還能實現對學生數學思維能力的培養，引導學生及時發現問題、解決問題，形成辯證性的思維，從而提升綜合思維能力，在實踐教育中具有重要意義。

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（作者單位：德州學院職業教育學院，山東 德州 253000）