基于高中數(shù)學(xué)習(xí)慣性錯(cuò)誤透視學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)

王國(guó)林

[摘要]教師通過(guò)教學(xué)實(shí)踐會(huì)發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣較差，上課聽得很明白，課后卻不會(huì)做題，久而久之，他們會(huì)漸漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這些學(xué)生并不是不會(huì)聽課，而是不會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)習(xí)慣較差，課前不預(yù)習(xí)，課后不主動(dòng)復(fù)習(xí)與做題，只做教師布置的作業(yè)。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師要總結(jié)學(xué)生的壞習(xí)慣，通過(guò)認(rèn)識(shí)自身的不足，從而提高自身能力，幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)。好的習(xí)慣可以影響一個(gè)人一生，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，可以取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);習(xí)慣性錯(cuò)誤;學(xué)習(xí)習(xí)慣

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）30-0028-03

學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟等方面有著十分重要的作用。經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)理論對(duì)學(xué)生獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有重要的啟示：為學(xué)生提供有層次性的、數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣的、廣泛的活動(dòng)情境及足夠的替代性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷參與、反思、內(nèi)化等數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，及時(shí)反省、評(píng)價(jià)、抽象和運(yùn)用在該過(guò)程中獲得的經(jīng)驗(yàn)，并利用“社會(huì)”因素，積極干預(yù)學(xué)習(xí)習(xí)慣的不良影響，有助于學(xué)生獲得充足的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生要建立錯(cuò)題檔案，通過(guò)再次認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤源頭積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

一、學(xué)生常見的習(xí)慣性錯(cuò)誤，大致分為以下六類

1.計(jì)算錯(cuò)誤

計(jì)算對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，已經(jīng)不成問題，但在較為復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程或者緊張的考試過(guò)程中，有一部分學(xué)生卻因簡(jiǎn)單的計(jì)算導(dǎo)致失分，事后往往苦笑不已，自己竟會(huì)犯這樣低級(jí)的錯(cuò)誤。防止低級(jí)錯(cuò)誤，就應(yīng)該在平時(shí)的計(jì)算中強(qiáng)化訓(xùn)練，養(yǎng)成一絲不茍的計(jì)算習(xí)慣，做題時(shí)沉著冷靜，認(rèn)真對(duì)待，對(duì)于易忘的知識(shí)及時(shí)復(fù)習(xí)。

2.概念理解出現(xiàn)偏差

概念理解出現(xiàn)偏差，就是指忽視了概念的某些細(xì)節(jié)限定，導(dǎo)致考慮問題不全面，自以為是地認(rèn)為自己做對(duì)了，可以得滿分的題卻得不到滿分，這種學(xué)生做題往往是會(huì)而不全，就像做飯一樣做得半生半熟。

例如，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？大多數(shù)學(xué)生的慣性回答是橢圓和雙曲線，顯然，犯此類錯(cuò)誤的學(xué)生沒有準(zhǔn)確把握橢網(wǎng)和雙曲線的定義。問題一，如果距離之和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢網(wǎng);如果距離之和等于兩定點(diǎn)間的距離，軌跡則是兩定點(diǎn)所在的線段。問題二，如果距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)且小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是雙曲線;如果距離之差的絕對(duì)值等于零，軌跡則是兩定點(diǎn)所在線段的垂直平分線;如果距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)且等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡則是以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條射線。

3.默認(rèn)錯(cuò)誤

默認(rèn)錯(cuò)誤就是習(xí)慣性地把某些與定理或真命題相似卻未經(jīng)證明的命題認(rèn)為是真命題，用在自己的解題過(guò)程中，而這些命題往往是假命題，用錯(cuò)誤的方法去解決問題必然會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤甚至出現(xiàn)矛盾，學(xué)生可能會(huì)以為是題日本身出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

例如，求函數(shù)y=x+1/x的值域。

很多學(xué)生看到題目就想到基本不等式√ab≤a+b+/2（a>0，b>0），所以y=x+1/x≥2√x·1/x=2，從而得出結(jié)論函數(shù)y=x+1/x的值域?yàn)閇2，+∞）。這種解法顯然是錯(cuò)誤的，忽視了函數(shù)的定義域{x|x≠0}，默認(rèn)為x>0。正確解法如下。

因?yàn)楹瘮?shù)y=x+1/x的定義域是{x|x≠0}，所以分為兩種情形： ①當(dāng)x>0時(shí)，y=x+1/x≥2√x·1/x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1/x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立。

②當(dāng)x<0時(shí)，y=-[-x+（-1/x）]≤-2√-x+（-1/x）=-2，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-1/x，即x=-1時(shí)，等號(hào)成立。

綜上可得，函數(shù)y=x+1/x的值域?yàn)椋?∞，-2]U[2，+∞）。

4.忽視條件限制導(dǎo)致錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)語(yǔ)言力求言簡(jiǎn)意賅，一道好的題目通常簡(jiǎn)潔明了，從不會(huì)給出多余的或重復(fù)的條件，給出的條件恰能求出所求問題。題日中的已知條件用完了，這道題也就快解完了。一部分學(xué)生已知條件還沒有用完，題目答案就出來(lái)了，這樣的解題過(guò)程往往不全，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)一道題的分析一知半解。

例如，當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式2kx2+kx-3/8<0對(duì)一切的實(shí)數(shù)x都成立？

對(duì)這道題不認(rèn)真讀題的學(xué)生會(huì)忽視一元二次不等式，既然是一元二次不等式，那么2k≠0，粗心學(xué)生的錯(cuò)解如下：

①當(dāng)2k=o，即k=0時(shí)，原不等式可化為-3/8<0恒成立，所以x∈R，符合題意。

②當(dāng)2k≠0，即k≠0時(shí)，要使2kx2+kx-3/8<0對(duì)一切的實(shí)數(shù)x都成立，只需滿足2k<0，△=k2-4×2k×（-3/8）<0，解之得-3

由①②得知，當(dāng)-3

錯(cuò)因分析：這類學(xué)生是平時(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可見其平時(shí)訓(xùn)練扎實(shí)，受分類討論思想的影響，一看到二次項(xiàng)含有參數(shù)，慣性地想到分類討論，從而忽視了題目中一元二次不等式的條件。此題的正確答案為-3

5.忘記挖掘隱含條件

挖掘題目中的隱含條件，要求學(xué)生對(duì)題日細(xì)讀。很多題目看似難，實(shí)則易，只要平時(shí)養(yǎng)成好的讀題習(xí)慣，即使不做題，也能得出部分答案，比如，已知x2/a+等=1是橢圓方程，就隱含了n>0.b>0;已知mx2-ny2=1是雙曲線方程，就隱含了mn>0;已知y=ax2是拋物線方程，就說(shuō)明a≠0;用向量法求兩條直線間的夾角就要清楚兩條直線的夾角范圍是|0，π/2|。

例如，已知x2sinα-y2cosα=1（0≤α≤π）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢網(wǎng)，求α的取值范圍。

解：將橢網(wǎng)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2/1/sinα+y2/-1/cosα=1，

∵橢網(wǎng)的焦點(diǎn)在y軸上，

1/sinα>0，

sinα>0，

-1/cosα>0，

cosα<0，

-1/cosα>1/sinα

sinα>-cosα

sinα>0，

cosα<0，

tanα<-1。

又∵已知0≤α≤π.∴π/2<α<3π/4，即所求α的取值范圍是（π/2，3π/4）。

筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一類學(xué)生不會(huì)化簡(jiǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其實(shí)題日本身隱含了sinα≠0，cosα≠0，如果有一個(gè)為零，就不可能是橢網(wǎng)方程;另一類學(xué)生即使能列出不等式，也不會(huì)化簡(jiǎn)不等式，不能對(duì)題目中的隱含條件加以應(yīng)用，因?yàn)镺≤α≤π，這就隱含了1/-cosα>1/sinα>0，從而得出sinα>-cosα。化簡(jiǎn)到這學(xué)生又不會(huì)了，原因在于0≤α≤π，時(shí)，cosα的符號(hào)不能確定，其實(shí)cosα的符號(hào)問題早就在第二個(gè)不等式中解決了，因此可得tanα<-1，接下來(lái)此題迎刃而解。

6.缺乏知識(shí)體系的融會(huì)貫通

有些學(xué)生不會(huì)靈活應(yīng)用知識(shí)，學(xué)到的知識(shí)是孤立的，解題中某一過(guò)程卡住了就會(huì)放棄，不會(huì)另辟蹊徑;能把知識(shí)學(xué)活的學(xué)生此路不通就會(huì)另想方法，真所謂山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村。

數(shù)學(xué)這門課程的知識(shí)鏈聯(lián)系很緊密，環(huán)環(huán)相扣，某一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)不好，就會(huì)導(dǎo)致某幾個(gè)環(huán)節(jié)掌握不佳。解題能力的高低，取決于解題思路的開闊與否;解題思路的開闊與否，取決于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)情況;知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)情況，取決于學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的融會(huì)貫通程度。

對(duì)于同一道題，不同的學(xué)生會(huì)選擇不同的方法解答，這是因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生觀察問題的差異和觀察問題的角度不同，而且知識(shí)儲(chǔ)備不同，因而會(huì)出現(xiàn)一題多解。反過(guò)來(lái)，一題多解恰好反映了不同知識(shí)點(diǎn)的魅力所在，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化，構(gòu)建有效的知識(shí)體系，總之，它們是相對(duì)統(tǒng)一、相輔相成的。

二、學(xué)生如何培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

1.總結(jié)做題方法

高中生學(xué)習(xí)任務(wù)重，做一道題要懂一類做題的方法，這就要求其在平時(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)自主總結(jié)，學(xué)會(huì)對(duì)題型歸類、對(duì)解題方法歸類。課堂上的所思所想甚至奇思妙想課后要及時(shí)記錄，周末進(jìn)行總結(jié)，形成學(xué)習(xí)記錄;把做過(guò)的作業(yè)和練習(xí)題進(jìn)行歸類總結(jié)，找出經(jīng)典題加以整理。

2.提高效率

提高效率要從三個(gè)方面著手：課前、課堂、課后，學(xué)生課前要適當(dāng)預(yù)習(xí)，根據(jù)時(shí)間的多少分為精預(yù)習(xí)和粗預(yù)習(xí)，時(shí)間如果充足，就做精預(yù)習(xí)，時(shí)間少，就花費(fèi)幾分鐘了解本節(jié)教師要講什么內(nèi)容;提前預(yù)習(xí)的學(xué)生，聽課才具有目的性，既能跟上教師的思路，也能積極思考，抓住重點(diǎn);課后不需要花費(fèi)時(shí)間二次學(xué)習(xí)教材，也能快速完成作業(yè)。

3.融會(huì)貫通，舉一反三

學(xué)生要做到融會(huì)貫通，舉一反三，就要溫故而知新，學(xué)好新知識(shí)的同時(shí)做好舊知識(shí)的鞏固，這樣遇到難題才會(huì)有更多的解答方法，才能把零碎的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，在大腦中形成知識(shí)網(wǎng)圖，達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

4.制作糾錯(cuò)筆記

在平時(shí)的作業(yè)、考試中，由于對(duì)某些知識(shí)的掌握不熟練，導(dǎo)致這樣那樣的錯(cuò)誤，很多學(xué)生歸結(jié)原因?yàn)榇中模瑓s不加以重視，第二次遇到類似的題，又會(huì)在同樣的地方犯錯(cuò)，這就不叫粗心了，細(xì)細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，是學(xué)生自己對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解錯(cuò)了。因此，教師要建議學(xué)生建立糾錯(cuò)檔案，對(duì)那些做錯(cuò)的題，選擇一部分做研究，分析錯(cuò)因，引起重視，查漏補(bǔ)缺。

三、教師在教學(xué)中循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣

高中數(shù)學(xué)是分模塊的，教師要把模塊各個(gè)擊破，最后又要整合到一起，化整為零。高中數(shù)學(xué)雖然分模塊，但聯(lián)系是緊密的，知識(shí)點(diǎn)是化歸統(tǒng)一的，要求學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，懂得方法。

因此，教師在教學(xué)中要采用靈活的教學(xué)方法，穿插思考問題的方式和做題的思想，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和自主探究的能力，教給學(xué)生分析問題的技巧，遇到題目讓學(xué)生嘗試去分析。在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生也要善于總結(jié)做題方法，比如做單項(xiàng)選擇題，可用直接法、排除法等。高中教學(xué)中要抓住幾條主線：集合主線、函數(shù)主線、方程與不等式主線等。讓學(xué)生明白高中數(shù)學(xué)的幾大做題思想：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想、統(tǒng)計(jì)與概率的思想等。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生養(yǎng)成會(huì)思考、會(huì)分析題目的習(xí)慣，可以輕松提高學(xué)習(xí)成績(jī)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，師生雙方受益。

總之，本文從學(xué)生常犯的習(xí)慣錯(cuò)誤出發(fā)，分析了學(xué)生該如何培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師首先要了解學(xué)生，然后根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合其學(xué)習(xí)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論，制定因地制宜的學(xué)案，在教學(xué)中更好地幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

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（責(zé)任編輯 黃諾依）