證明函數單調性的三種變形策略

劉永紅

〔關鍵詞〕 數學教學；函數；單調性；證明；策略

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）05—0083—01

函數是中學數學的重點內容，函數的單調性是函數的重要性質，是解決數學問題的重要工具.用定義證明函數f（x）在區間D上的單調性是高中數學的基本方法，也是高考常考的基本技能.其步驟為：

1.任意取值：設x1，x2為區間D內任意兩個值，且x1

2.作差變形：作差f（x1）-f（x2），并通過通分、因式分解、配方分析、有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形；

3.判斷定號：確定f（x1）-f（x2）的符號.當符號不確定時，可以考慮分類討論；

4.得出結論：根據函數單調性的定義得出結論， 若f（x1）-f（x2）<0，則f（x2）為增函數；若f（x1）-f（x2）>0，則f（x2）為減函數.

即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”.

其中變形是為了有利于判斷差值符號，是證明的難點.本文結合學生在變形時的困難，探討利用定義證明函數單調性的三種變形策略.

策略一：因式分解

因式分解是最常用的變形策略.若函數解析式是分式，通常變形時需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式，并對各因式符號的判斷，來確定f（x1）-f（x2）的符號，進而得出結論.

當然，對于有些結構復雜的函數，還需要結合通分、因式分解、配方分析、分子（分母）有理化等多種策略進行變形.