大流速滲透地層三管凍結穩態溫度場解析解

張世琪， 榮傳新， 王 彬， 施 鑫， 董艷賓， 楊 凡

(安徽理工大學土木建筑學院， 淮南 232001)

人工地層凍結技術(簡稱“凍結法”)，由于其形成的凍土帷幕具有良好的封水效果和較高的力學強度，作為一種臨時地層加固方法，不僅在傳統的礦山豎井鑿井工程中大量應用，也被廣泛應用于盾構進出洞、隧道聯絡通道、基坑支護等地下工程施工中。在施工過程中，掌握凍土帷幕的厚度和力學性質等參數是非常重要的，而這些參數均依賴于凍結溫度場的分布。因此，溫度場理論是凍結法理論的基礎，并且具有重要的學術意義和應用的價值[1-5]。

當前溫度場理論研究主要包括瞬態溫度場以及穩態溫度場。人工地層凍結是一個隨著時間變化的過程，對于瞬態溫度場的數學描述相對困難，所以多管凍結瞬態溫度場解析解難以獲得。由于人工地層凍結工程中的熱傳導比較緩慢，凍土帷幕的厚度后期發展的速率較慢，基本處于熱量動態平穩狀態，所以其溫度場與穩態溫度場非常接近。此外，穩態溫度場相對簡單并且能夠滿足工程上的工作精度要求，因此當前溫度場理論分析大多是研究其穩態溫度場分布規律。

目前，有關穩態溫度場的解析解資料顯示，蘇聯學者Трупак[6]提出了單管凍結溫度場公式，日本學者戸部暢等[7]提出兩管至五管直線排列凍結溫度場公式，蘇聯學者Бахолдин[8]和美國的Sanger[9]分別研究出了單排管凍結溫度場公式及雙排凍結溫度場公式，中國的胡向東等[10]完成了絕熱邊界附近單管和雙管、任意排列的三管[11]和四管[12]、凍結管溫度不等時的雙管[13]、單排管[14]和凍結管溫度相等時的三排管[15]解析解的推導。中外學者對這些溫度場理論的準確性和適用性做了一些研究，并對部分理論模型進行了修改和完善，取得了一些重要的成果[16-18]。

在穩態溫度場研究方面，巴霍爾金解與實際工況的溫度場吻合度較高，應用范圍較廣，因此大部分的研究都是建立在巴霍爾金解的基礎之上的，但是針對水熱耦合作用下凍結溫度場的計算，巴霍爾金解并不能考慮滲流場對溫度場的影響。因此，本文首先基于勢函數疊加原理推導了水熱耦合作用下三管凍結穩態溫度場解析解，結合三管凍結大型物理模型試驗，將解析解計算結果與試驗結果進行比較。同時基于解析解研究了滲流場作用下三管凍結溫度場沿不同軸線的分布規律，得出了凍結溫度場在上游/兩側/下游軸線上的平均溫度，本文計算方法可為水熱耦合作用下三管凍結溫度場計算提供理論依據。

1 三管凍結溫度場解析解

1.1 基本假設

(1)滲流場中水的溫度、流速及方向保持不變。

(2)多孔介質是均勻的(粒徑、孔隙率、導熱系數在各個位置都是相等的)。

(3)凍結管管壁的溫度是恒定的。

(4)進入穩定凍結階段之后，凍結溫度場成為穩態溫度場。

1.2 理論基礎

三種傳熱方式為導熱、對流及輻射。而在人工地層凍結工程中，對流和輻射幾乎不會影響溫度場的分布，因此本文中將其忽略。根據傅里葉定律，在單位時間內，通過長度為dx的無窮小層的熱通量與無窮小層的溫度速率和面積成正比，可以寫成

(1)

式(1)中：q是單位時間內的熱通量；k是土體的熱傳導系數；T是土體溫度。引入潛熱參數Φ，Φ=kT，將其代入式(1)，有：

(2)

根據傅里葉定律和熱力學第一定律，平面的熱傳導控制方程也可以描述為

(3)

式(3)中：qx和qy分別為沿著x軸和y軸的單位時間的熱通量；Q是單位時間和單位體積內系統和環境之間交換的熱量；ρ是土體密度；c是土體的比熱。

在本文中，土體是被視為各向同性，并且計算區域是無限的，因此系統和環境之間的熱交換被忽略，所以式(3)可以寫成

(4)

根據相似理論，凍結管可以看成一個存在凍結管中心的冷源，令qc為穩態下單位時間內冷源吸收的熱能，在平面內，每個點的潛熱都會降低到qc，根據以上假設，qc也可以寫成：

(5)

式(5)中：r為到冷源的距離；Φ表示溫度勢，則可表示為

(6)

式(6)中：C為積分常數，該常數的大小跟邊界條件有關。根據潛熱疊加原理可以得到穩定溫度場中任意點溫度勢的表達式為

(7)

式(7)中：ri為該點到第i個冷源的距離；qci為第i個冷源的熱流。

1.3 解析解推導

在滲流場作用下，水流通過對流傳熱作用，改變了整個凍結區域的熱量分布，因此凍結鋒面的形狀不再是圓形，其中兩側區域的凍結范圍明顯大于上、下游區域，整個凍結鋒面的形狀接近扁橢圓形。

為了便于描述三管凍結溫度場的分布規律，以中間凍結管的圓心為坐標原點，經過原點且平行于水流方向的軸線為X軸，垂直于水流方向的軸線為Y軸，構建直角坐標系如圖1所示。由于位于凍結管的上游以及下游區域的凍結鋒面的形狀存在明顯的差異性，為了便于計算，采用“分段等效”的簡化方法，以Y軸為分界線，將分界線兩側的凍結鋒面的形狀分別等效為1/2扁橢圓。凍結管位置及編號如圖1所示。

ξ1為邊界Ⅰ到凍結管2的距離；ξ2為邊界Ⅱ(Ⅳ)到凍結管3 (凍結管1)的距離；ξ3為邊界Ⅲ到凍結管2的距離；d為兩相鄰凍結管之間的距離圖1 簡化溫度場圖Fig.1 Plot of simplified temperature field

由式(7)可知：任一點的溫度勢為

(8)

故凍結管1、2、3的管壁處的潛熱分別為

(9)

(10)

(11)

邊界Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ點的溫度勢分別為

(12)

(13)

(14)

(15)

因為Φ0=kT0，其中T0是邊界凍結土體的溫度且T0=0，故由式(9)～式(14)可得：

(16)

(17)

(18)

聯立式(15)～式(17)，可解得：

(19)

(20)

(21)

式中：

對于沿X軸方向的溫度計算， 將式(14)、式(19)～式(21)代入式(8)，假定實際凍結過程中的三根凍結管的溫度相等，即Tf1=Tf2=Tf3=Tf，且Φ=kT，可得：

(22)

對于沿Y軸方向的溫度計算，由于對稱性，取y>0區域，將式(14)、式(19)～式(21)代入式(8)，假定實際凍結過程中的三根凍結管的溫度相等，即Tf1=Tf2=Tf3=Tf，且Φ=kT，可得：

(23)

(24)

基于式(23)、式(24)可以計算X、Y兩軸線上的平均溫度。對于X軸，X>0段上的平均溫度可以表示為

(25)

X<0段上的平均溫度可以表示為

(26)

Y軸上的平均溫度可以表示為

(27)

2 三管凍結模型試驗

為了驗證水熱耦合作用下三管凍結穩態溫度場解析解的合理性，結合三管凍結大型物理模型試驗系統，將解析解計算結果與試驗結果進行比較。

2.1 模型試驗設計

三管凍結物理模型試驗系統如圖2所示。整個試驗系統由多孔介質試驗區、凍結系統、滲流場模擬系統、數據采集系統等組成。實驗箱體的尺寸為2 500 mm×2 000 mm×1 000 mm，箱體兩端各安裝8個規格為40 mm×2 mm的鋼管，分別作為進水管以及出水管。箱體沿著長度方向被兩道100目的濾網分成3部分，其中中間部分為主體實驗室，其長度為2 000 mm，該部分用來容納多孔介質；在箱體的兩端各設置一段長度為250 mm的緩沖室，緩沖室內填滿石子，從水管中流出的水流會通過緩沖層的縫隙流向中間區域的多孔介質，從而保證水流能夠沿著箱體截面均勻的進入中間的主體試驗區。

圖2 試驗系統設計圖Fig.2 Schematic of the setup

本次試驗選用粒徑為1 mm的圓粒石英砂來模擬多孔介質，該種類的砂粒徑均勻，經壓實可以在箱體中形成均勻孔隙率的多孔介質，具有較好的滲透性，同時該類砂的石英含量較高，具有較好的導熱性能，其熱物理參數如表1、表2所示。

表1 砂的物理參數

表2 砂的熱學參數

圖3顯示了多孔介質試驗區凍結管及測點布置，共設定A、B、C、D、E、F、G 7條軸線，每條軸線分布有13個測點，測點間距為50 mm，共計91個測點。模型試驗中地下水流速根據相似準則確定，取原型滲流速度0、6 m/d的試驗結果以驗證三管凍結溫度場解析解的合理性。

2.2 穩態溫度場分析

圖4顯示了滲流速度為0、6 m/d時I軸上各測點溫度隨凍結時間的變化。

當滲流速度v=0，即當飽和多孔介質中無流動的地下水作用時，對應同一時刻，位于I軸線上對稱位置的測點的溫度基本相同，說明測點的布置較為精確，土層均質，隨著凍結時間的延長，在凍結后期相鄰兩曲線之間的間距逐漸減小，表明在進入相對穩定的階段后，凍結溫度場的擴散速率減慢，凍結時間為1 500 min的曲線幾乎與凍結時間為1 750 min的曲線重合，所以可以認為在無滲流場作用時，當凍結溫度為1 750 min時，凍結溫度場進入穩定凍結階段。

圖3 測點分布圖Fig.3 Tested points distribution

圖4 I軸溫度空間分布圖Fig.4 Spatial distribution of temperature on the I axis

當v=6 m/d時，對應同一時刻，位于I軸線上對稱位置的測點的溫度，隨時間的延長，在凍結后期相鄰兩曲線之間的距離在減小，凍結時間為2 500 min以及2 750 min的三條溫度曲線重合，表明在凍結2 750 min之后，溫度場不再發生變化。

為了進一步分析滲流作用對溫度場的影響規律，沿滲流方向繪制各測點溫度的空間分布曲線圖，如圖5及圖6所示。由于模型對稱性，僅取B軸及D軸上的測點進行分析。

圖5 滲流速度為0 m/d時B、D軸線溫度分布圖Fig.5 Temperature distribution of B and D axis at 0

圖6 滲流速度為6 m/d時B、D軸線溫度分布圖Fig.6 Temperature distribution of B and D axis at 6 m/d

由圖5可知，當飽和多孔介質中無流動的地下水作用時，對應同一時刻，位于B、D軸線上對稱位置的測點的溫度基本相同，表明測點布置的位置比較準確，砂層比較均勻，在凍結后期相鄰兩條曲線之間的間距逐漸減小，說明在進入相對穩定階段后，凍結溫度場的擴展速度變慢，凍結時間為1 500 min的曲線與1 750 min的曲線基本重合，因此可以認為在無滲流場作用時，當凍結時間為1 750 min時，凍結溫度場進入穩定凍結階段。

當v=6 m/d時，位于下游區域的測點的溫度明顯低于上游區域的測點，說明水流的對流傳熱作用改變了凍結區域的溫度的空間分布，水流在流經上游區域時被冷卻，在流至下游區域時水流與多孔介質之間的溫差變小、對流傳熱作用變弱，因此在凍結前期下游區域的測點的溫降速率較快，隨著凍結時間的增加，下游區域逐漸進入凍結穩定階段，凍結范圍不再發生變化，而上游區域的測點的溫度則持續降低，在凍結后期上游區域的測點的溫度逐漸接近下游對稱測點的溫度，但整體溫度仍舊大于下游區域，凍結時間為2 500 min的曲線與2 750 min的曲線低于0 ℃的部分基本重合，表明當凍結時間為2 750 min，凍結溫度場進入穩定凍結階段。

根據溫度的測試結果得出穩態溫度場的凍結封面向各個方向的擴展范圍ξi如表3所示。

表3 不同滲流條件下穩態溫度場的擴展范圍對比

由圖5、圖6及表3可知，穩態凍結溫度場的凍結鋒面向各個方向的擴展范圍ξi變化較為明顯，在無滲流作用下，上下游擴展范圍幾乎相同，分別為300.8 mm及300.0 mm；在v=6 m/d時，上下游的擴展范圍有了明顯變化，上游的擴展范圍為292.5 mm，下游的擴展范圍為341.1 mm。

造成上述現象的主要原因是：滲流場作用下凍結溫度場的發展規律是熱傳導以及對流傳熱相互作用的結果，而穩態凍結溫度場則是兩種作用達到平衡的一種狀態。當滲流速率較小時，對流傳熱作用較弱，隨著流速的增大，對流傳熱作用增強。部分水流將上游的冷溫傳遞到下游，使下游的擴展范圍較大于上游擴展范圍。

3 解析解的驗證

由前述已推導的解析解可以擬合出無流速(v=0)及有流速(v=6 m/d)兩種條件下的X和Y軸線溫度分布圖，如圖7和圖8所示。

圖7 X軸上點溫度分布圖Fig.7 Temperature distribution for X-points

圖8 Y軸上點溫度分布圖Fig.8 Temperature distribution for Y-points

從圖7中可以看出，當v=0和6 m/d時，模擬結果與試驗數據的基本吻合。在無流速狀態下，靠近凍結鋒面的位置存在較小的誤差，基本在2 ℃以內，當流速達到6 m/d時，凍結鋒面的誤差減小至0.5 ℃以內，而靠近凍結管附近的模擬誤差有所增加，約為2 ℃。同理，從圖8中可以看出，在不同流速下，模擬數據與試驗數據的變化趨勢基本一致。該數學模型只是考慮了場的疊加，而凍結管交圈并非是單純的場的疊加，群管效應等因素的影響、試驗所用材料、儀器、實驗操作以及周圍環境均會產生不同程度的影響。

對于前述引入“調節系數”的數學模型表達式(22)～式(24)，從其表達形式上可以看出，若已知冷源所產生的穩態溫度場外輪廓，以及冷源的分布方式，將這些已知量及參數代入表達式中，便就可以得到軸上點的近似溫度，從而方便快速地繪制出各點的溫度。

由式(25)～式(27)可分別求得上游/兩側/下游三個軸線上的平均溫度，當v=0時，三個軸線上平均溫度為-9.15、-7.76、-9.10 ℃；當v=6 m/d時，三個軸線上平均溫度為-9.71、-10.02、-9.10 ℃，如表4所示。說明滲流場的存在使得溫度場的平均溫度降低。

表4 凍結溫度場不同軸線上的平均溫度

4 結論

基于勢函數疊加理論，采用“分段等效”的方法對三管凍結溫度場的凍結鋒面進行簡化，通過定義“調節系數”，推導了水熱耦合作用下三管凍結穩態溫度場解析解。結合三管凍結大型物理模型試驗，將解析解計算結果與試驗結果進行比較，得出以下結論。

(1)模型試驗結果表明，當流速分別為0、6 m/d時，三管凍結溫度場進入穩定凍結階段需要的時間分別為1 750、2 750 min；滲流場的存在使得凍結鋒面向各個方向的擴展范圍ξi具有明顯的差異。當流速由0增加到6 m/d時，ξ1、ξ2、ξ3分別由300.8、264.8、300.0 mm變化為292.5、266.4、341.1 mm，上游區域凍結鋒面的擴展范圍減小，下游區域范圍擴大，兩側區域的擴展范圍基本相等。

(2)解析解計算結果與試驗結果基本吻合，驗證了解析解的合理性。在無流速狀態下，靠近凍結鋒面的位置存在較小的誤差，基本在2 ℃以內，當流速達到6 m/d時，凍結鋒面的誤差減小至0.5 ℃以內，而靠近凍結管附近的模擬誤差有所增加，約為2 ℃。

(3)當滲流速度由0增加至6 m/d時，上游、兩側、下游軸線上的平均溫度由-9.15、-7.76、-9.10 ℃降低為-9.71、-10.02、-9.10 ℃，說明滲流場的存在對三管凍結穩態溫度場分布規律影響較大，為大流速滲透地層人工凍結設計提供參考。