滲透多思少算理念培育數(shù)學核心素養(yǎng)

柳建顯 關(guān)劍鋒

【摘 要】本文以一道解析幾何題解法探究為例，論述培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的方法，提出讓學生掌握流程步驟以塑造優(yōu)異品格，讓學生領(lǐng)悟合理選擇參數(shù)以走向正確方向，培養(yǎng)幾何分析意識，優(yōu)化解題過程。

【關(guān)鍵詞】解析幾何 數(shù)學運算 核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）02B-0144-04

坐標法是解析幾何的基本方法，此方法的核心思想是利用解析幾何圖形中的彼此關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為點的坐標、直線或曲線方程中的有關(guān)系數(shù)等變量來處理。由于高考命題越發(fā)關(guān)注解題方向的選擇及計算方法的合理性。因此，除了坐標法，多思少算理念在簡化計算的過程中成為一種趨勢。在教學中，教師如何引導學生選擇合理的解題方向、怎樣運用恰當?shù)姆椒ㄒ院喕\算、如何貫徹多思少算的理念，是不可忽視的問題。下面以一道解析幾何題解法探究為例，與讀者交流。

一、試題再現(xiàn)

在平面直角坐標 xoy 中，點 B 與點 A（-1，1）關(guān)于原點 O 對稱，P 是動點，且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 。

（Ⅰ）求動點 P 的軌跡方程;

（Ⅱ）設(shè)直線 AP 和 BP 分別與直線 x=3 交于點 M，N，問是否存在點 P 使得 △PAB 與 △PMN 的面積相等？若存在，求出點 P 的坐標;若不存在，說明理由。

二、解法探究

分析易得動點 P 的軌跡方程為 x2+3y2=4（x≠±1），過程在此省略。下面我們重點關(guān)注第二問不同思考方向引出的不同的解答過程。

[評注]因為是求點，所以直接從點入手，這是學生容易想到的。通過對面積相等這一設(shè)定，假設(shè) P 坐標 P（x0，y0），利用條件對圖形中的幾何特征進行分析，構(gòu)造面積相等的方程，從而求解。難點在于構(gòu)建 M，N 兩點的縱坐標和求解過程，以及 ?MN 長度的化簡。此法設(shè)且求 M，N 坐標，設(shè)而不求 MN 長度。其中用到的方程思想、參數(shù)設(shè)點法都是解析幾何的常規(guī)方法，整個過程適合培養(yǎng)學生數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng)。

[評注]從線入手，引進斜率 k，則參數(shù)唯一且目標明確。通過轉(zhuǎn)化讓相關(guān)點都與斜率有關(guān)，運用韋達定理求點 P 的坐標。設(shè)且求相關(guān)點 M，N 坐標，整體代換，運用方程思想等讓問題得以解決。從解題過程不難發(fā)現(xiàn)，選擇斜率作為參數(shù)時難點也非常突出，在有限的時間里，這對學生的運算能力提出了很高的要求，并且在化簡時也極易出錯。參數(shù)設(shè)線法，這種常規(guī)設(shè)法在此解法里也得到了很好的體現(xiàn)。

[評注]也從點入手，利用三角面積公式求解。初看 ，，， 都不易求，但把乘積轉(zhuǎn)換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。此解法妙不可言，突出了用幾何法解決幾何問題能簡化運算、優(yōu)化解題思路的特點。利用相似比化定積為定比充分體現(xiàn)多思少算的理念，利用相似三角形來處理解析幾何中涉及線段長度類問題，是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的好方法。

〖解法 4〗延長直線 AB，交直線 x=3 于點 S（xS，yS），設(shè)點 P 的坐標為（x0，y0）。若存在點 P，使得 ，則 P 必在直線 AB 的右上方。

[評注]仍從點入手，利用補形思想，結(jié)合圖形的對稱性，利用面積關(guān)系挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點的信息，通過中點構(gòu)建幾何圖形的中位線并利用其性質(zhì)解決相關(guān)問題。解法 4 通過平面幾何知識將復雜的圓錐曲線問題進行簡單、有條理地推理，計算量很小，體現(xiàn)數(shù)學化繁為簡的真諦。平面幾何知識的分析處理手段，很好地體現(xiàn)多思少算的理念，是培養(yǎng)學生數(shù)學運算和多思少算理念的很好素材。

三、教學反思

解析幾何作為培養(yǎng)運算能力的沃土，是培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng)的最佳載體，在高考中起著重要的選拔功能作用?；诒绢}的解法探究，對解析幾何的運算教學，筆者有以下幾點思考。

（一）讓學生掌握流程步驟，塑造優(yōu)異品格

坐標法是解析幾何的基本思想，數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、設(shè)而要求、整體代入、整體運算、韋達定理、面積公式、長度公式、點到線的距離公式都是我們常見的基本方法和基本公式，設(shè)點、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法。這些常見方法、思想在解法 1 和解法 2 得到了很好的體現(xiàn)。教學中我們應(yīng)該腳踏實地地貫徹典例中處理解析幾何問題的基本流程：

要解決什么問題（求點 P 的坐標）—— 問題對象的幾何特征（面積相等）—— 用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系（相關(guān)點、線）—— 運算解決問題（長度、距離等）—— 分析運算結(jié)果的幾何含義（坐標、長度、面積等）—— 解決幾何問題（坐標）。

而這個過程性教學恰恰是我們常規(guī)教學的核心。我們要反復強化這一流程，讓學生熟能生巧，掌握基本模式，讓他們知道基本思想、明白基本方法、基本流程。解法 1 和解法 2 都應(yīng)讓學生理解掌握。

教育的根本任務(wù)是育人。數(shù)學為磨煉學生的意志和提高耐挫力提供了絕好的平臺，意志品質(zhì)水平的高低與數(shù)學成績的優(yōu)劣有著極為密切的內(nèi)在聯(lián)系。“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，解法 1 和解法 2 運算量相對較大，這樣運算較大的常規(guī)思路方法，在平時教學中不能省略，而應(yīng)勇敢地帶領(lǐng)學生突破運算瓶頸。解法 1 求 M 和 N 坐標，求 MN 長度;解法 2 讓學生努力化簡得到方程 ，當他們用坐標思想最終解出點 P 的坐標時，這一艱難且驚心動魄的過程對他們內(nèi)心的震撼是可想而知的。要讓學生在解法 1 和解法 2 中體驗挫折和失敗的過程中，形成百折不撓的良好心理素質(zhì)。這對磨煉學生的毅力，塑造堅忍不拔的品格，提升學生的自信，無疑有著不可估量的作用。這既是高考的要求又是今后人生發(fā)展的需要。也只有這樣才能真正實現(xiàn)和完成數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標和立德樹人的根本任務(wù)。

（二）讓學生領(lǐng)悟合理選擇參數(shù)，走向正確方向

設(shè)點、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法。正常情況下，設(shè)線時不超兩個未知數(shù)。當所設(shè)直線能夠方便地表達出“問題所需量”時，“設(shè)線”具有變量少、運算思路簡潔的特點。而設(shè)點相對而言變量較多，變量間的關(guān)系較復雜，但思維量的提升能使運算量降低。特別是當直線無法方便地將“問題所需量”與之聯(lián)系起來時，設(shè)點往往是較優(yōu)方案。案例中設(shè)點、設(shè)線都可以用，我們可以梳理一下思路，如下表所示：

信息 推理 聯(lián)想

P是動點，直線 AP 和 AB 分別與直線 x=3 交于點 M，N P 是在曲線上的主動點，M，N 是線線相交的從動點 設(shè) P 點坐標

點B與點A（-1，1）關(guān)于原點對稱，直線AP與BP的斜率之積等于，與直線x=3交于點 M，N 直線 AP 斜率 k 確定，則直線BP 斜率確定，其他相關(guān)量也可用 k 表示 設(shè)直線 AP斜率 k

合理設(shè)參是培養(yǎng)學生目標意識的重要方法，解法 1 和解法 2 生動地體現(xiàn)這兩種設(shè)參的運算能力要求，是設(shè)參方法的好案例。在平時的教學中要經(jīng)常引導學生使用這種常見的設(shè)參方法，但是用設(shè)點法或設(shè)線法求解時，注意“主”與“輔”的關(guān)系，要始終圍繞目標和解題計劃展開求解，抓住問題的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。

我們應(yīng)該意識到解析幾何問題中參數(shù)的選擇是策略性知識。策略性知識是指學習者在學習情境中對任務(wù)的認識、對學習方法的選擇和對學習過程的調(diào)控，它是由學習方法、學習調(diào)控和元認知等要素構(gòu)成的監(jiān)控系統(tǒng)。這種知識僅靠學是無法獲取的，它需要在分析中比較，在評價中優(yōu)化，在創(chuàng)造中創(chuàng)新。在平時的教學中，我們可多進行一些探究式教學，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，引導學生進行參數(shù)選擇分析。比如，點線相關(guān)分析、路徑預判分析。多一些理性的思考，少一些運算。這樣既可以訓練思維的發(fā)散性，又可以訓練思維的收斂性，從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（三）培養(yǎng)幾何分析意識，優(yōu)化解題過程

解析幾何是一門用代數(shù)的方法研究幾何問題的科學，但我們不應(yīng)忽視解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題，離不開對幾何要素分析。解法 3 將乘積轉(zhuǎn)換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。解法 4 利用補形思想，結(jié)合圖形的對稱性，挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點的信息，構(gòu)建幾何圖形的中位線，并利用其性質(zhì)解決問題。這兩種方法運算量少，妙不可言。借助平面幾何的性質(zhì)降低了坐標法的運算量，也許并不是所有問題都有這么巧，都可以用，但平時的教學中這種意識培養(yǎng)并不可少。這種幾何意識的分析是培養(yǎng)“多思少算”，優(yōu)化解題的好策略。當然，解法 1 和解法 2 中的整體代換、設(shè)而不求的運算思想具有很好的作用，也應(yīng)當學會。

幾何分析在解題中起到重要作用，它有利于滲透數(shù)形結(jié)合的思想，使問題獲得巧解、妙解，有時常會取得事半功倍的效果。因此在教學過程中穿插平面幾何的知識必不可少，比如，（1）與平行線相關(guān)的幾何性質(zhì)：①三角形中位線性質(zhì);②梯形中位線性質(zhì);③平行線分線段成比例定理;④直線的對稱性。（2）與三角形相關(guān)的幾何性：①等腰三角形性質(zhì);②直角三角形性質(zhì);③角平分線性質(zhì)定理;④相似三角形相關(guān)性質(zhì)。（3）與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)：①直徑的性質(zhì);②垂徑定理的應(yīng)用;③切線長定理、切割線定理、相交弦定理。我們要有這種意識，“幾何證明選講”的內(nèi)容不是不考了，而是考得更加隱蔽了，更加靈活了，更加有深度了。在解析幾何中，合理利用幾何法解題，不僅思路簡捷、運算量小、證題明快，而且富有規(guī)律，這對開拓視野、啟迪思維、提高解題能力大有裨益。

要培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)，突破運算瓶頸不是一朝一夕就能完成的。我們要長期引導學生對算理進行深入研究，幫助和指導學生運用已有的知識感悟其中的算理，讓學生不斷經(jīng)歷分析、探究、解決問題的過程，并在這一過程中完善認知結(jié)構(gòu)、拓展思維。只有這樣才能快速找到運算的方法進行正確迅速地運算，從而真正達到“想得多算得快、算得少”的境界。

【參考文獻】

[1]黃成世，趙思林.多想少算視角下2017年全國卷數(shù)學試題分析[J].中學數(shù)學，2017（19）

[2]葉 欣.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的解析幾何復習課[J].數(shù)學教學通訊，2019（15）

【基金項目】廣西教育科學“十三五”資助項目（2019B177）;桂林教育科學“十三五”資助項目（2018A-04）。

【作者簡介】柳建顯（1981— ），男，漢族，浙江文成人，碩士，桂林市桂林中學教師，一級教師，研究方向：高中教學。

（責編 盧建龍）