類比遷移理論視角下高中空間向量教學研究

龐禮金

[摘? 要] 文章基于類比遷移理論視角探究了高中空間向量教學，提出了“優化類比形式，精選類比環”“及時總結歸納，反思學習方法”“示例層層遞進，優化圖式結構”“聚焦幾何特征，把握問題本質”等策略.

[關鍵詞] 類比遷移;高中數學;空間向量

作為研究三維空間的有效工具，高中空間向量在研究空間基本圖形的位置和度量關系越來越有效，甚至在解決復雜空間問題時還優于綜合幾何方法.相當數量的教師在組織學生學習空間向量時往往類比平面向量的學習，但是空間向量不只是簡單地將二維向量增加一個維度就能解決問題，并且，空間向量又具有自身獨特的抽象原理與運算規則，這種現象的存在在一定程度上影響了高中空間向量學習的質量和水平. 類比遷移理論是消除這一不利影響的可行手段，能夠有效幫助學生解決空間向量教學的相關問題，因此，在類比遷移理論視角下，探究高中空間向量教學策略具有重要的意義.

優化類比形式，精選類比環節

最初在學習空間向量知識時，由于向量概念較為零散，并且缺乏一定的系統性與結構性，若在教學中直接采用類比形式，則很容易導致學生學習任務繁重，并且在學習效果方面只能達到平面向量和空間向量之間初級關系的類比，因此，在組織學生學習空間向量概念時，教師應適當增加例題教學，促使學生將源問題類比遷移到靶問題上[1]■.

例如，在組織學生理解空間向量加法運算概念時，筆者呈現了如下例題，即：已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則■+■+■=■.實質上，若將該題目中的空間四邊形修改為平面四邊形，則學生無疑就能對應找到源問題，從而通過類比遷移平面向量知識理解空間向量的結合律和交換律.

又如，在組織學生利用空間向量證明四點共面問題時，即：空間中不共線的三點A，B，C和任意一點O，已知點D在平面ABC內，試證明：■=x■+y■+z■，x+y+z=1. 為了有效幫助學生尋找源問題與靶問題之間的匹配與映射，筆者及時利用學生已學知識，通過類比遷移理論增加了如下例題教學，即點O為平面內的任意一點，已知點A，B，C在一條直線上，試證明：■=x■+y■，x+y=1，要求學生開展合情推理中的類比推理學習.

及時總結歸納，反思學習方法

由于相當數量的高中學生缺乏一定的學習自主性，思維習慣不夠良好，并且快速匹配源問題和靶問題僅是完成了基礎性的教學，因此，教師應適時幫助學生總結歸納，及時根據學生的學習現狀和知識掌握情況查漏補缺，促使學生形成完整的知識圖式，從本質上有效解決核心問題.

例如，在組織學生學習空間向量數量積運算時，空間向量運算律與平面向量運算律十分相似，但這并不意味著學生就能有效解決相應題目，進而真正掌握知識構建圖式[2]■. 如圖1所示，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，其同一頂點為端點所形成的夾角為60°，且棱長均等于1，試求該平行六面體中對角線AC1的長度. 雖然這道題目的計算并不復雜，但由于學生類比平面向量，致使在解題過程中往往是記憶大于理解，忽略了空間向量背后的幾何意義，因此，教師應最大限度地發揮自己的主導作用，引導學生及時歸納總結、查漏補缺，形成完整的知識圖式.

同時，為了有效降低類比遷移的副作用，避免會而不對的現象，教師應引導學生對多個類比問題進行比較，促使學生不斷反思. 例如，立體幾何背景下，解決空間向量夾角問題的本質是什么？應用坐標法表示空間向量與平面向量有什么異同等等.

示例層層遞進，優化圖式結構

無論是引入新知，還是鞏固所學知識都離不開示例，而空間向量知識的學習，最終還是要落腳在立體幾何問題解決上，還是要通過示例幫助學生理解. 值得注意的是，雖然空間向量知識本身具有鮮明的特點，并且空間向量的相關知識本身就是一環扣一環的，但學生解決綜合問題的能力并沒有得到有效提高，究其原因是空間直線的代數表示在高中階段并沒有明確說明. 因此，為了最大限度地避免由于該知識的欠缺而導致的負遷移，教師應在示例選擇時做到層層遞進.

例如，在應用類比遷移理論遷移平面法向量時，筆者首先選取了如下直線的方向向量示例，即：如圖2所示，a，b為直線l在x軸、y軸上的截距，試求與直線l垂直的向量m.

由題意可知，直線l的方向向量可以用n=（a，-b）表示，根據m·n=0，則可獲得向量m=■，■

顯然，上述解題從平面入手，應用類比遷移理論，將其推廣到空間中，有效回避了當前無法直接表示出空間直線代數特征這一問題.隨后，在學生完全理解上述知識后，為了研究的深入，筆者又創設了如下示例，即如圖3所示，平面α在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c，試求平面α的法向量.

類比上述案例，不妨設法向量為u=（x，y，z），實質上，p=（a，-b，0），q=（0，b，-c），根據p∥平面α，q∥平面α，p·u=0，q·u=0，則可求得u=■，■，■. 值得說明的是，如何恰當快速的選取至關重要，而上述利用示例解題的方式，有利于學生形成相關圖示，從而更好地幫助學生理解和應用法向量.

聚焦幾何特征，把握問題本質

為了關注圖形的幾何特征，促使學生能夠獨立描述解決立體幾何問題的一般程序，教師應引導幫助學生建立空間直角坐標系，而圖形幾何特征是構建坐標系的必要條件，實質上，高中數學教學中接觸到的立體幾何圖形往往復雜多樣，如果不注重空間幾何特征，則很難掌握問題的本質.

例如，如圖4所示，已知等邊三角形的邊長為2，點P為△ABC內的一點，試求■·（■+■）的最小值.

如果按照傳統方式，要求■·（■+■）的最小值，則需要先判斷點P的位置，然后求得PA的模長，顯然，這種解題模式較為麻煩. 若在此解題過程中，利用等邊三角形的對稱性，按照圖4所示建立平面直角坐標系，則在平面圖形與向量之間建立了聯系，使得該問題轉換為如下形式，即：

不妨設P（x，y），則■=（-x，■-y），■+■=（-2x，-2y），因此，■·（■+■）=2x2+2y-■■-■，當且僅當P為0，■時，則■·（■+■）取得最小值，最小值為-■.

又如，如圖5所示，已知D′H⊥菱形ABCD，AB=5，AC=6，AE=CF=■，OD′=■，則試求二面角B-D′A-C的正弦值.

顯然，熟知圖形的幾何特征是解決問題的關鍵. 通過幾何直觀建立直角坐標系，即以H為原點，建立H-xyz直角坐標系，將幾何條件坐標化，利用代數方法很快便能求出二面角B-D′A-C的正弦值.值得一提的是，上述題目解決中，若僅考慮平面，則坐標原點還可以選取點O，但坐標原點選取點O后，會大幅度增加運算的難度.

總之，在具體教學實踐中，教師應引導學生從平面向量入手，緊扣問題結構，采取類比遷移式的教學方法，并及時總結歸納，有效把握問題本質，最大限度地避免由平面向量所帶來的負遷移. 只有這樣，才能實現由二維的平面向量正向遷移至三維的空間向量，才能形成空間向量部分的圖式構建，有效培養學生的空間想象能力.

參考文獻：

[1]? 向往. 基于類比遷移理論的空間向量教學研究[J]. 湖南師范大學，2019（5）.

[2]? 余建國. 數學核心素養視域下的“空間向量的基本定理”教學[J]. 中學教研（數學），2019（5）.