例談學生抽象素養的培養

王國軍

[摘? 要] 文章從概念課、命題課、習題課的教學角度談學生抽象素養的培養.

[關鍵詞] 抽象素養;培養;教學策略

普通高中數學課程標準修訂組指出：數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質和關鍵能力. 高中階段核心素養包括“數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析”. 不少專家學者對核心素養的內涵、特征和價值做了很多高層次的詮釋. 而一線教師思考更多的是實踐層面的操作問題.

以數學抽象為例. 2017版課程標準中如下表述：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養. 主要表現為，獲得數學概念和法則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系.通過高中數學的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗;養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，運用數學抽象的思維方式思考并解決問題.下面結合具體的案例，從常見的三種課型：概念課、命題課、解題課的教學角度，談抽象素養的培養，不當之處，敬請斧正.

從具體的教學情境中抽象出數學概念和法則？搖

基于核心素養的教學活動應當把握數學的本質，創設合適的問題情境、提出恰當的數學問題，引發學生思考與探究，形成和發展學生的數學核心素養.

案例1 冪函數的教學設計

師：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知底數a不變，（1）當指數b變化時，冪N隨之變化，稱N是b的指數函數，記作y=ax（a>0，a≠1）;（2）當N變化時，b隨之變化，稱b是N的對數函數，記作y=logax（a>0，a≠1）.

問題情境1：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知指數b不變，隨著底數a的變化，冪N也隨之變化，那么，N是a的什么函數呢？

問題情境2：觀察下列函數并回答問題：

y=x，y=x2，y=■，y=2x，y=■■，y=x■，y=x-2，y=x3.

（1）上述函數中，哪些是你熟悉的？分別是什么函數？

（2）如果將它們分類，你準備怎么分類？（要先確定分類的標準，如可以按照指數或底數的特點）

（3）最后三個函數能和前三個函數歸屬同一類嗎？為什么？

（4）這類函數有什么共同的特點？（底數都是自變量x，指數不同）

（5）你能否用一個式子來表示這類函數？

（6）我們把這類函數稱為冪函數，仿照指數函數和對數函數的定義，請你給出冪函數的定義.

（7）所給函數中，哪些是冪函數？為什么？

（8）請你們討論冪函數的定義域.

（9）作出所給冪函數的圖像，觀察它們的特征和規律，說出冪函數的性質.

從學生認知的先后順序，可以將數學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化等5個階段.上述問題中，（1）是讓學生感知和識別，（2）至（5）讓學生分類與概括，（6）（7）是定義和表征，（8）（9）是想象、建構并使知識系統化.

從數學概念與概念之間、事實與事實之間抽象出數學關系和定理

眾所周知，無論是數學概念的產生還是數學定理的發現，都源于數學的一個核心——問題. 毫無疑問，數學定理課的教學也應當圍繞問題展開. 定理是怎么發現的？它蘊含了哪些規律性的東西？它能解決什么問題？如果教師不能通過對問題的不斷分析引導學生發現定理證明的數學思想，顯然違背了數學育人的宗旨.

案例2 余弦定理的推導過程

1. 提出研究任務

前面我們學過了正弦定理.那么，有沒有余弦定理？如果有的話，又是怎樣的形式呢？能解決什么問題呢？今天我們就研究這個問題.

2. 制定研究策略

在本環節教學中，先讓學生談自己的想法. 但要讓學生自己獨立制定出一個解決問題的完整策略是非常困難的，這時必須有教師的適時引導. 余弦定理的推導方式很多，教材中是用向量法推導的. 學生不易想到. 那么教師該如何引導呢？

啟發1：從正弦定理的形式看，它反映的是三角形的邊與所對角的正弦的關系. 那么余弦定理的形式又應當含有哪些元素呢？（邊和角的余弦）

（引導學生從正弦定理的結構特征思考余弦定理的大致形式，養成從事實與事實間的關系思考問題的習慣.）

啟發2：在你學過的知識中，哪些知識涉及線段長和角的余弦？（學生自然會想到平面向量的數量積）

啟發3：前面我們是怎么用向量法推導正弦定理的？（引導學生回顧正弦定理的推導過程，從中尋找解決問題的突破口——找到一個關于向量的等式.如學生還是沒有思路，可提出如下問題：在△ABC中，三邊所對的向量■■，■滿足怎樣的關系式？）

有了研究思路后，學生需要獨立獲取研究結果. 對■+■+■=0式子怎么變形？有哪些注意事項？這些都交給學生獨立完成.

3. 拓寬研究思路

啟發4：余弦定理的結構形式和我們以前學過的哪個定理很相似？——學生會聯想到勾股定理. 你能用勾股定理證明余弦定理嗎？

啟發5：教材中正弦定理推導的幾種方法能否推出余弦定理？

啟發6：你能用正弦定理推導余弦定理嗎？

4. 比較研究方法

讓學生比較各種方法的優劣、每種方法的關鍵點、所涉及的數學知識以及數學思維的方式方法等.

從數學問題的解決過程中抽象出數學方法和思維方式

哈爾莫斯說過：“學習數學的最好方法是解題”. 學生的核心素養水平的高低還必須在解決問題的過程中得到檢驗. 解題課的基本目標有兩個：（1）強化對概念、公式、法則、定理等基礎知識的理解;（2）從一類問題中抽象出解決該類問題的一般性方法，從而提高學生分析問題、解決問題及綜合運用所學知識的能力.

案例3 已知函數f（x）=x2-ax+1，若函數f（x）在（0，2）上有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.

分析：這是一個典型的二次函數的零點分布問題，學生易忽略某些限制條件，從而不能有效轉化.

思路1：通過對拋物線的開口方向、對稱軸、判別式、區間端點對應的函數值的綜合考慮，得到Δ=a2-4>0，0<■<2，f（0）>0，f（2）>0，解得a∈2，■.

思路2：分離參數得，a=x+■，觀察直線y=a與對勾函數y=x+■在x∈（0，2）上的圖像有兩個交點的情況，得到a∈2，■.

點評：思路1是根據二次函數圖像特點尋找約束條件，思路2是通過分離參數，將函數零點問題轉化為兩個圖像交點個數的問題. 兩種思路都體現了數與形的轉化.

變式訓練：

（1）若函數f（x）在（0，2）上有零點，求實數a的取值范圍;

（2）若不等式f（x）≥0在（0，2）上恒成立，求實數a的取值范圍;

（3）若不等式f（x）≥0在（0，2）上有解，求實數a的取值范圍.

教師要引導學生總結：在處理函數零點問題、不等式恒成立、不等式有解時，優先考慮分離參數的方法.

數學教學就是教會學生數學地思考，培養學生良好的數學思維品質.學會通過現象看本質，通過一個問題的解決實現一類問題的解決恰是優秀思維品質之一. 解題教學不僅要關注一題多解，更應重視多題一解. 通過多題一解的訓練，可以有效地發展學生的數學抽象素養.

結束語

和其他素養一樣，學生數學核心素養的養成是一個長期的過程，而且更多時候是一種潛意識的行為. 數學素養的形成是在學習數學基礎知識和基本技能的基礎上，在數學活動中逐步形成的.面對即將到來的新一輪課程改革，我們應當積極探索在實踐層面的培育方法和途徑，開發出一些具有指導意義和可操作性的教學案例，切實提升學生的數學素養水平.