一道習(xí)題引發(fā)的思考
——《數(shù)圖形》教學(xué)與反思

徐登池

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級(jí)上冊(cè)練習(xí)十三第2題。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)舊知，引入新課

師：數(shù)一數(shù)，下圖中有多少條線段？在作業(yè)紙上用不同顏色的彩色鉛筆圈畫。

展示學(xué)生作業(yè)。

生：有AB、AC、AD、BC、BD、CD，一共6條。

生：AB、BC、CD、AC、BD、AD，也是6條。

師：兩位同學(xué)匯報(bào)時(shí)都說(shuō)得很有序。我們?cè)跀?shù)線段的時(shí)候，有兩種數(shù)的方法，可以從最左邊的一個(gè)點(diǎn)依次數(shù)，還可以從最短的一段一段地?cái)?shù)。

師：我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了數(shù)線段的方法。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，還會(huì)遇到數(shù)角、數(shù)三角形、數(shù)長(zhǎng)方形。今天這節(jié)課我們繼續(xù)來(lái)研究數(shù)圖形的知識(shí)。

【設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)二年級(jí)的數(shù)線段的知識(shí)，幫助學(xué)生回顧之前所學(xué)內(nèi)容。以往教學(xué)中，都是用鉛筆連一連、畫一畫，學(xué)生在觀察的時(shí)候不容易區(qū)分。本節(jié)課通過用不同顏色的彩色鉛筆畫，呈現(xiàn)學(xué)生不同的畫法，讓他們看得更加一目了然，同時(shí)也復(fù)習(xí)了兩種數(shù)的方法，為本節(jié)課的內(nèi)容做好知識(shí)遷移。】

二、探究方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

下圖各有多少個(gè)角？

教師提出要求：先畫一畫，再數(shù)一數(shù)，并用算式表示。把你的想法記錄在作業(yè)紙上。

預(yù)設(shè)學(xué)生出現(xiàn)的方法：

（1）無(wú)序。會(huì)有遺漏的。

（2）有序。①?gòu)囊粭l邊數(shù)起。②從一個(gè)角組成的角數(shù)起。

師：（呈現(xiàn)一個(gè)無(wú)序的作業(yè)）這樣畫可以嗎？

生：不行，有漏掉的。

師：為了做到不重復(fù)、不遺漏，我們要有序地?cái)?shù)。

師：（呈現(xiàn)兩種有序的不同的畫法）說(shuō)說(shuō)你們是怎樣有序地?cái)?shù)出角的個(gè)數(shù)的？

生：我以圖②為例，從最左邊的這條射線數(shù)起，有3個(gè)角；再?gòu)淖筮叺诙l射線數(shù)起，有2個(gè)角；最后從左邊第三條射線數(shù)起，有1個(gè)角。一共有3+2+1=6個(gè)角。

生：我以圖③為例，最小的角一共有4個(gè)，兩個(gè)小角組成的稍大一點(diǎn)的角有3個(gè)，三個(gè)小角組成的再大的角有2個(gè)，四個(gè)小角組成最大的角有1個(gè)，一共有4+3+2+1=10個(gè)。

師：（兩位同學(xué)邊指邊說(shuō)）大家聽明白了嗎？

生：（齊）明白了。

師：仔細(xì)觀察這兩位同學(xué)的作業(yè)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)角和數(shù)線段是一樣的。

生：都有兩種不同的數(shù)法。可以從一條邊數(shù)起，也可以從一個(gè)角組成的角數(shù)起。

師：（追問）仔細(xì)觀察射線的條數(shù)和算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)算式都是從一個(gè)數(shù)開始，每次加的數(shù)比前一個(gè)數(shù)少1，一直加到1。

師：（指著算式）第一個(gè)數(shù)這里是2，這里是3，這里又是4。怎么回事？

生：第一個(gè)數(shù)比射線的條數(shù)少1。

生：先數(shù)出射線有幾條，然后減去1，最后再依次加到1就可以了。

師：如果有n條射線，一共可以組成多少個(gè)角？你能像這樣用算式表示嗎？

生：1+2+3+4+5+6……加不完。

生：可以加完，應(yīng)該是1+2+3+…+（n-1）。

師：根據(jù)上面三幅圖得到的這個(gè)結(jié)論，僅僅是我們的猜想，需要打個(gè)問號(hào)。到底成不成立，還需要進(jìn)一步舉例驗(yàn)證。

出示要求：自己在作業(yè)紙上畫，比黑板上的射線條數(shù)要多。

生：（邊說(shuō)邊指）我畫了7條射線，一共有6+5+4+3+2+1=21個(gè)。

生：我畫了6條，一共有15個(gè)。

……

師：有沒有同學(xué)舉的例子不符合這個(gè)規(guī)律的？

生：（齊）沒有。

師：那剛才猜測(cè)的這個(gè)規(guī)律是存在的，n條射線組成圖形的角的總個(gè)數(shù)=1+2+3+···+（n-1）。

師：剛才用畫一畫、數(shù)一數(shù)的方法找到了射線的條數(shù)和角的個(gè)數(shù)之間的規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷有序數(shù)的過程，形成有序思考的思維品質(zhì)。同時(shí)，也讓學(xué)生初步感受數(shù)角的方法和數(shù)線段的方法類似。并通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。最后讓學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論”的規(guī)律探究過程。】

三、直接運(yùn)用規(guī)律

1.數(shù)三角形。

（1）第一層次。

課件演示：出示一個(gè)點(diǎn)A，再出示一條由若干條線段組成的圖形，然后A點(diǎn)和線段上的五個(gè)點(diǎn)依次連接。

師：你能用剛才數(shù)角或數(shù)線段的方法很快數(shù)出一共有多少個(gè)三角形嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)三角形和剛才的數(shù)角是一樣的。

生：可以從最左邊的三角形數(shù)起，△ABC、△ABD、△ABE、△ABF；再?gòu)淖筮叺诙€(gè)數(shù)起，△ACD、△ACE、△ACF；以此類推，還有△ADE、△ADF、△AEF。一共10個(gè)三角形。

生：還可以這樣數(shù)，最小的三角形有4個(gè)，分別是△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；第二小的有3個(gè)，分別是△ABD、△ACE、△ADF；較大的有2個(gè)，分別是△ABE、△ACF；最大的有1個(gè)，△ABF。一共也是10個(gè)。

師：現(xiàn)在來(lái)看看，數(shù)三角形和數(shù)線段、數(shù)角在方法上有什么相同點(diǎn)？

生：數(shù)三角形的方法和數(shù)線段、數(shù)角是一樣的。

（2）第二層次。

師：剛才好多同學(xué)覺得數(shù)角和數(shù)三角形太簡(jiǎn)單了，現(xiàn)在老師要增加難度，想不想挑戰(zhàn)？

提問：如果再加一條線段，你知道一共有多少個(gè)三角形嗎？加兩條呢？看誰(shuí)算得快！

生：拆分。如：把左圖拆成兩個(gè)大三角形，右圖就拆成三個(gè)大三角形。然后按照數(shù)線段或數(shù)角的方法數(shù)。

（4+3+2+1）×2=20

生：橫著數(shù)和斜著數(shù)結(jié)合起來(lái)。如左圖，最下面的一條線段上有BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共10條線段，斜著數(shù)有AG、AB、GB共3條線段，但這里只有AG、AB兩條線段可以與橫著的線段組成三角形。

師：為什么GB這條不算？

生：因?yàn)橄旅娼M成的是梯形，不是三角形。由此得出一共有：10×2=20個(gè)。

師：原來(lái)，數(shù)三角形和數(shù)角的方法是一樣的。本來(lái)很復(fù)雜的問題，找到規(guī)律就變得容易了。

【設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到按一定的規(guī)律去數(shù)可以不重復(fù)、不遺漏，同時(shí)感受到數(shù)角和數(shù)三角形的方法的相同之處。并抽象出算式模型，進(jìn)一步培養(yǎng)思維的靈活性和有序性。同時(shí)，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)數(shù)多行圖形的方法，并讓學(xué)生逐步掌握遇到復(fù)雜圖形時(shí)，如何能有序、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)。】

四、靈活運(yùn)用規(guī)律

1.數(shù)長(zhǎng)方形。

師：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，還會(huì)遇到有關(guān)長(zhǎng)方形的問題。

（1）下圖中一共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

生：我是先數(shù)長(zhǎng)上面有6個(gè)長(zhǎng)方形，寬上面有3個(gè)。一共就是3×6=18個(gè)。

師：為什么寬上面有3個(gè)？我只看到了2個(gè)啊？

生：上下兩個(gè)小長(zhǎng)方形可以合成一個(gè)大長(zhǎng)方形。

師：原來(lái)還隱藏了一個(gè)，我們?cè)跀?shù)的時(shí)候可要數(shù)仔細(xì)了。

生：我還可以當(dāng)成數(shù)線段，長(zhǎng)上面一共有6條線段，寬上面一共有3條線段，每條線段都對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)方形，一共是3×6=18個(gè)。

師：觀察這兩個(gè)圖形，從外形看都是兩層，為什么一個(gè)是每層的個(gè)數(shù)乘2，另一個(gè)是每層的個(gè)數(shù)乘3？

生：長(zhǎng)方形中上面和下面兩個(gè)小的都是長(zhǎng)方形，上下合起來(lái)的圖形也是長(zhǎng)方形；而三角形的下面部分不是三角形。所以一個(gè)是每層的個(gè)數(shù)乘2，另一個(gè)是每層的個(gè)數(shù)乘3。

師：如果再加一行呢？你是怎么數(shù)的？

生：6×3=18個(gè)。

生：6×4=24個(gè)。

生：不對(duì)，寬上面不是3個(gè)，也不是4個(gè)，而是6個(gè)，應(yīng)該是6×6=36個(gè)。

師：到底誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？問題出在哪里？

生：我來(lái)上去指一下。

師：看明白了嗎？

生：明白了。最小的長(zhǎng)方形就有3個(gè)，兩個(gè)小長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形有2個(gè)，三個(gè)小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形有1個(gè)，一共有6個(gè)。

師：（追問）那你覺得在數(shù)的時(shí)候，要提醒大家注意什么？

生：一定要做到有序，這樣才能不重復(fù)，也不遺漏。

【設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)長(zhǎng)方形的過程，讓學(xué)生感受到方法是一樣的，但是與數(shù)三角形是有區(qū)別的，數(shù)長(zhǎng)方形時(shí)要注意一些隱藏的長(zhǎng)方形，做到有序，不重復(fù)、不遺漏。這樣既充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能使學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上有更大的提高。】

五、拓展延伸

師：今天學(xué)習(xí)了數(shù)圖形，回憶一下，我們是怎么學(xué)習(xí)的？

師：希望同學(xué)們能運(yùn)用今天學(xué)習(xí)的方法解決生活中更多更復(fù)雜的數(shù)圖形的問題。

【設(shè)計(jì)意圖：課堂總結(jié)不僅回顧了數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形、數(shù)長(zhǎng)方形的方法，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)方法靈活運(yùn)用的樂趣，在學(xué)生心中“種”下了“有序思考”的數(shù)學(xué)思想。】

【課后反思】

本節(jié)課以《射線、直線和角》課后的一道習(xí)題為契機(jī)，把這一類的題型進(jìn)行整合、分類，在教學(xué)中讓學(xué)生有了類意識(shí)，并能熟練掌握處理這一類問題的方法。從而在學(xué)習(xí)中不斷感受到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，逐步建立數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)思想。

1.抓住本質(zhì)，有序思考。

本節(jié)課以“數(shù)”為主，創(chuàng)設(shè)了不同的圖形。課中，重點(diǎn)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓全體學(xué)生都主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中。皮亞杰說(shuō)過：“思維是從動(dòng)作開始的，切斷了活動(dòng)與思維之間的聯(lián)系，思維就不能發(fā)展。”課前，讓學(xué)生準(zhǔn)備彩色鉛筆，目的是讓學(xué)生在畫的過程中能一目了然地看出其他同學(xué)數(shù)的方法，更能體現(xiàn)是否有序，同時(shí)也避免了重復(fù)、遺漏等問題。通過數(shù)角的活動(dòng)，教師提出“你覺得他的方法好嗎？”“按這樣的方法數(shù)一數(shù)有什么好處？”隨著學(xué)生思維的碰撞，“不重復(fù)、不遺漏”水到渠成，在后期的學(xué)習(xí)過程中“有序”數(shù)學(xué)思考得以生根。

2.自主探索，遷移方法。

通過交流，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了數(shù)角的方法，并能合理地遷移到數(shù)三角形和數(shù)長(zhǎng)方形的學(xué)習(xí)中。發(fā)現(xiàn)雖然圖形不同，但是數(shù)的方法是相同的。同時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)三角形和數(shù)長(zhǎng)方形的過程中，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)它們?cè)跀?shù)法上也略有不同，從而真正做到收放自如。

3.體現(xiàn)多種數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法的適當(dāng)滲透比知識(shí)更重要。在這節(jié)課中體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法。

（1）“有序思考”。

在數(shù)角時(shí)，出示各種錯(cuò)誤資源，讓學(xué)生評(píng)價(jià)、討論有什么好的辦法可以不重復(fù)、不遺漏，學(xué)生給出按順序、分類數(shù)，很好地體現(xiàn)“有序思考”的數(shù)學(xué)思想。

（2）“化繁為簡(jiǎn)”。

在課的一開始，通過數(shù)角、數(shù)簡(jiǎn)單的三角形，學(xué)生掌握了數(shù)的方法，在學(xué)習(xí)數(shù)多行三角形時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不需要再一條一條畫了，可以用算式直接表示。通過從簡(jiǎn)單的問題開始研究，給學(xué)生滲透“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想。

總之，本節(jié)課能夠在教材的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地整合教材，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生親歷探索的過程，使學(xué)生掌握有序思考的方法，體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正在課堂教學(xué)中落地生根。

（“第十二屆小學(xué)教學(xué)特色設(shè)計(jì)大賽”獲獎(jiǎng)作品選登）