深度學習：縱向數學化是必由之路
——對《點陣中的規律》深度學習再思考

焦波（特級教師）

【理論感悟】

弗賴登塔爾認為“數學化”分橫向數學化和縱向數學化兩種。橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。在他看來，數學化就是指人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，運用數學方法組織現實世界的過程就是數學化?？磥?，“數學化”既是數學教學活動的目的，也是實現教學目的之手段。這樣，一般人們將橫向數學化理解為將現實與數學建立聯系，將縱向數學化則理解為是建立抽象的數學知識之間的聯系，常常包含著抽象和形式化就不難理解了。比較而言，我們認為縱向數學化有時更能發展學生的數學思維，促進學生深度學習。

【實踐再思】

兩年前，本人申報的省級課題《基于學生核心素養培養的教學與評價研究》已于2019年底順利結題，但在核心素養背景下，如何通過數學教學努力提升學生思維的深刻性，即引導學生進行深度學習，培育數學核心素養的話題從未停止。一年來，我們團隊結合以上理論感悟和教學實踐，一直在進行深度學習的探討。下面就選用北師大版五年級上冊“數學好玩”中綜合實踐《點陣中的規律》這一課，以團隊成員洪喬和魏峰兩位教師執教、研討的教學實錄為例，談談教學中如何“引導學生深度學習，滲透模型思想，培育數學核心素養”的實踐和再反思。

一、以疑誘思，深在激發求知欲望的心動中

教師的真正本領，不在于他是否會傳授知識，而在于他怎樣傳授知識，是否能激發學生的學習動機，喚起學生的求知欲望，使其興致盎然地參與到學習過程中來。教師要學會構造“一方池塘”，讓學生學會學習、自我成長；要善于點燃“一束火焰”，讓學生思維啟迪、自覺成長。

在實錄（一）中，洪老師新課伊始，就開展“人機大戰”看誰算得快的計算比賽活動，動作快的用計算器算和口算快的用腦算都比不過教師的速度，從而讓學生產生好奇，教師再揭示答案是用“數形結合”的方法把計算題轉化成了正方形，導入新課，學生躍躍欲試地進入主動學習、積極探索的狀態。在實錄（二）中，魏老師先通過課前看圖交流，（圖一讓學生通過不同的角度看到兩張側臉和瓶子，圖二通過旋轉得到不同的人臉）這樣從不同角度觀察得到不同結果的課前熱身活動，既點題，又調動了學生的學習積極性；緊接著開展“課前10秒鐘挑戰極限”的活動，讓學生感到驚訝，認為不太可能快速得到正確結果。教師話鋒一轉，“我們今天就是要把這種不可能變成可能，變成一定能！”

兩位教師以形式各異的“以疑誘思”開始教學，有異曲同工之處，都有效地激發了學生的求知欲望，讓深度學習的真正發生成為可能，這既是“敲門磚”，又是“承重墻”。

二、以形助數，深在生成符號模型的探究中

小學數學教學的建模，實際上就是讓學生經歷縱向數學化和再創造的過程。培育模型思想的重要策略是讓學生參與建模過程，在模型的探究、構造中讓學生的思維深度發生。

在實錄（一）中，洪老師為了讓學生易于理解，調整教材，先探究較簡單的，不會出現多種符號模型（算每個點陣總點數的算式）的三角形點陣規律。將形象的三角形點陣表示為抽象的算式，引導學生觀察數（數列）與形（點陣）之間的一一對應關系，學生的思維在算式表示中“頓悟”，順利地實現了由形到數的第一次轉化，使學生對分類找規律有所領悟。有了前面的鋪墊，對于教材中的正方形點陣規律，洪老師大膽放手，讓學生自主探索，深化三種方法找規律。在此過程中，既培養了學生從不同角度去發現問題、概括規律的能力，又讓學生感悟由于形（劃分形式）的不同，帶來式（規律的模式）的各異，使學生在數與形的多次對應轉化中深化模型思想。在實錄（二）中，魏老師先課件出示10×10閱兵實景圖，形象化地把士兵的兵陣變成一個點陣，這樣從現實世界到符號世界的轉換就是橫向數學化的過程。再通過三個活動，從不同的角度揭示同一個點陣三種不同的規律。

我國著名數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微?！币陨蟽晌唤處熓冀K以“數形結合”為主線，從不同的角度用“觀察、嘗試與猜測”的方法，先幫助學生建立直觀模型與抽象算式之間的聯系，使抽象算式有了幾何直觀的支撐；再從簡單到復雜，逐一引導學生找各組算式之間的內在聯系，分析數字模型，發現模型規律；最后讓學生借助表象，進行想象，形成抽象，用語言表述算式，并將規律符號化，提煉通項公式。借助“形”的結構來探究“數”的規律，而且用數學語言和符號（通項公式）重塑蘊含其中的數學模型，這種從特殊上升到一般，將事物與現象聯系起來加以考察，探究規律的縱向數學化過程，既是實現抽象的基本途徑，又是深刻揭示事物與現象的內在規律與本質的有效策略；既有利于學生歸納與概括能力的提升，又有利于模型思想的滲透和代數思維的形成。

三、以數解形，深在重塑神美結構的關聯中

鄭毓信教授說：“數學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯?！苯虒W中，我們提倡教師要引導學生以聯想和結構的方式去學習新知，通過建構將知識內部本身所具有的關聯和結構進行個性化的再關聯、重建構，從而形成自己新的知識結構，這是深度學習的重要特征。

教學中，兩位教師都能引導學生用聯系的眼光，探索三種規律間的轉化，深刻領悟數學內部之間的融合關系。實錄（一）中，洪老師在固化新知中，先探索三個算式間的聯系，學生小組合作，得出通過移多補少或重新配對可以變成4個4，再揭示比賽獲勝的秘訣是看算式想幾乘幾的點陣。學生能準確回答人機大戰中六個算式各是幾乘幾的點陣，這是對已有的認知經驗的再現，對自己的知識結構的重塑。尤其是實錄（二）中，魏老師讓學生自主歸納出得數都等于25的三個“形異神同”的算式后，魏老師引導學生在觀察、比較“形異”的過程中，體會“5×5”的簡潔性；再借助于“移多補少”的轉化，體驗三個模型間的統一性。此時，魏老師獨具匠心的編了一段“小詩”來表示這種統一性，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。只要移多補補少，大小相等皆明了”；這樣以數解形，不僅優化了學生的代數思維，還彰顯了數學本身的魅力和神奇，使“數形結合”模型思想的“數學味”更濃厚。

四、以展延課，深在遷移思想方法的應用中

實錄（一）中，洪老師第一次延伸是在策略運用中，放手讓學生自主探究長方形點陣，使學生研究數要觀察形的模型思想得到延伸，數形結合的策略得以形成；第二次延伸是在結課欣賞中，讓學生再次回到生活——奧運擊缶，氣勢磅礴；閱兵方陣，英姿颯爽……果然是哪里有數學，哪里就有美！數學美把自然規律抽象成一幅簡潔準確的圖像；第三次延伸是設計一個點陣，給了學生極大的創造空間。實錄（二）中，魏老師通過課件展示，由平面點陣拓展到空間中，為學生插上想象的翅膀，拓展了視野，延伸了思維。

以上，把學生的課堂學習延伸到課外，鏈接到學生已有的相關生活經驗，使得原本陌生的數學知識與學生熟知的生活情景自然對接，體現了數學與生活的密切聯系，使學生“數形結合”的模型思想在知識的遷移中、被使用中得以升華，也凸顯了數學文化的價值和數學自身的魅力。

本文系安徽省2017年教育科學研究項目立項課題《基于學生核心素養培養的教學與評價研究》（項目編號：JK17015）的終結性成果之一。