數形結合百般好
——《點陣中的規律》教學實錄（一）

洪喬

【教學內容】

北師大版五年級上冊第98頁。

【教學過程】

一、計算比賽，激趣導入

師：先來做個小調查，咱們班誰計算速度最快？誰動作最快？

（選一位學生速算，再選一位學生用計算器計算，與教師比賽）

師：請看大屏幕中的題，任選其中一題進行比賽。其他同學看清楚了，你們是評委哦！

（比賽結果：教師獲勝）

師：想知道獲勝的秘訣嗎？

生：想。

師：老師把這道計算題轉化成了一個正方形點陣，只要用一句乘法口訣就能很快地算出答案，這種學習數學的方法叫做數形結合。（板書）

二、化難為易，獲得經驗

1.揭示數點數要找規律。（動畫依次呈現三角形點陣）

師：我們一起來數一數，這些圖形是由幾個點組成的？

生：第一個點陣是由1個點，第二個點陣由3個點，第三個點陣由6個點，第四個點陣由10個點，第五個點陣？第六個？第七個？

師：聲音怎么不整齊了？怎么回答不出來了？原來咱們還沒有發現其中的規律，今天我們就來學習點陣中的規律。（板書）

2.探索點陣內分組找規律的方法。

師：第三個點陣是怎么數的？

生：橫著數1+2+3=6。

生：斜著數也是1+2+3=6。

（學生回答的同時，教師用課件的熒光筆涂色，進行分組）

師：我們從上往下觀察這些點陣，你有什么發現？

生：從上往下看每個點陣，一層比一層多一個點。

師：我們再從左往右觀察每個點陣的算式，你又有什么發現？

生：從左往右看每個算式，后一個加數比前一個加數多一。

師：這些算式都是由點陣得到的，我們一起來說一說吧。

齊說：第一個點陣是1，第二個點陣是1+2，第三個點陣是1+2+3，第四個點陣是1+2+3+4，第五個點陣是1+2+3+4+5，……第N個點陣是1+2+3+……+N。

師：第七個點陣的算式應該從1一直加到幾？怎樣列式？

生：從1一直加到7，算式是1+2+3+4+5+6+7。

小結：對于這組三角形點陣，我們可以任取一個三角形采用分組的方法來研究，發現點陣中的規律是：一層比一層多一，那么相對應的算式中的規律是：從1開始，后面一個加數比前面一個加數依次多一，是第幾個點陣就加到幾。

三、自主探究，構建模型

師：請拿出學習卡。這是一組正方形點陣，請同桌兩人共同探索規律，寫出相應的算式，并說說點陣與算式之間的規律。

（同桌兩人運用所學知識，共同探討規律，教師巡視，手機拍照展示學生的探索結果）

1.橫著看，找規律。

師：說說你是怎么找規律的？

生：我是橫著看找規律的，第一個點陣是1個1，所以列式1×1；第二個點陣是2個2，所以列式是2×2；第三個點陣是3個3，所以列式是3×3；第四個點陣是4個4，所以列式是4×4。

（課件同步演示：1×1，2×2，3×3，4×4）

師：那么第八個點陣的算式怎樣列呢？有多少個點？

生：8×8=64。

師：這個正方形點陣與算式之間有什么聯系嗎？

生：第一個點陣是1×1，第二個點陣是2×2，第三個點陣是3×3，第四個點陣是4×4……第N個點陣是N×N，第幾個點陣算式就是幾乘幾。

2.斜著看，找規律。

師：還有不同的方法嗎？

生：斜著看，找規律，第一個點陣是1，第二個點陣是1+2+1，第三個點陣是1+2+3+2+1，第四個點陣是1+2+3+4+3+2+1。（學生邊說教師邊同步出示算式）

師：仔細觀察第三個點陣，我們把正方形沿對角線分成了兩個三角形，就成了我們之前研究的三角形點陣，誰知道正方形的這條對角線的點數對應在算式里的什么數嗎？

生：對應算式里的3。

師：誰能說說點陣與算式之間的規律？

生：點陣中的點數依次多一，然后又依次減一。相對應的算式也是依次加一，然后又依次減一。

師：還有不同的發現嗎？

生：第二個點陣最大數是2，第三個點陣最大數是3，第四個點陣最大數是4……那么第N個點陣最大加數就是N。

師：誰能說說第五個點陣相對應的算式嗎？

生：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

3.拐彎看，找規律。

師：這組正方形點陣，你還能列出不一樣的分組方法嗎？

（展示學生拐彎分的涂色方法，并課件動畫出示1個點、3個點、5個點、7個點，最后組成了正方形點陣）

師：你會根據這種分法列出相應的算式嗎？

生：第二個算式是1+3，第三個算式是1+3+5，第四個算式是1+3+5+7。

師：你發現算式中各數有什么特點嗎？

生：是一組連續奇數的和。

師：再觀察點陣與算式之間有什么規律嗎？（如果學生發現不了，可以啟發：圖形被折線分成了幾組？所以算式中就有幾個數？）

生：第二個點陣被分成了2組，所以算式中有2個數相加。第三個點陣被分成了3組，所以算式中有3個數相加。第四個點陣被分成了4組，所以算式中有4個數相加。

師：第N個點陣，就是從1開始的N個連續奇數相加。

師：剛才我們是在同一個點陣內找規律的。我們還可以與前一個點陣比較來看，還有其他找規律的方法嗎？

生：發現第二個點陣比前面一個點陣新增了3個點，所以在前一個點陣的算式后面加3。第三個點陣比前面的點陣新增了5個點，所以在前一個點陣的算式后面加5。第四個點陣比前面一個點陣新增了7個點，所以在前一個點陣的算式后面加7。

師：原來我們橫向比較也能發現規律，列出相對應的算式。現在老師要來考考你們了，第五個點陣相對應的算式誰會列？

生：1+3+5+7+9。

四、揭示秘訣，固化新知

1.探索三個算式間的聯系。

師：（結合板書）橫著看，列式是4×4；斜著看，列式是1+2+3+4+3+2+1；拐彎看，列式是1+3+5+7，結果都是多少？為什么？

生：16，都是同一個點陣。

生：把后兩個算式通過移多補少或重新配對可變成4個4。

師：這三種方法中，你最喜歡哪種分法？為什么？

生：第一種，計算最簡便。

2.揭示比賽獲勝秘訣。

師：這些算式都是同一個正方形點陣，所以在計算時，老師把這些算式都轉化成了正方形的第一種分法，直接用乘法口訣4×4=16，就很快算出答案了。你現在知道前面人機大戰老師獲勝的秘訣了嗎？

生：老師都是看算式想是幾乘幾的點陣，是幾乘幾的點陣就用幾乘幾算出結果。

師：大家說一說人機大戰中六個算式各是幾乘幾的點陣？

3.小結。

師：原來數形結合可以這么巧妙地解決數學問題，難怪中國現代“數學之父”華羅庚用他樸素的語言作了一首七言絕句。（課件展示）

五、延伸應用，形成策略

1.我們來看一看這道題：比一比，看誰算得又對又快。

課件出示：

（1）1+2+3+……+20+……+3+2+1

生：都等于20×20=400。

師：看到這樣的算式，你能想到什么樣的點陣呢？

生：一排20個點，共有20排。

2.請按長方形點陣中的規律填空。

六、聯系生活，結課欣賞

1.欣賞圖片。

2.請你設計一個點陣，看你的爸爸、媽媽或同學能不能找出你設計的規律？