凡欲明一法，必設(shè)一題

何月豐

“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設(shè)一題。”這句話出自我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝之筆。我第一次讀到是在單墫教授所著的《解題研究》一書中，當(dāng)時甚為驚訝。只是那本書中僅引用這句話，以此佐證題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，對于這句話的具體釋義則并未給出。

我?guī)е稽c認識，又夾雜著“不甚理解”的遺憾，請教了我縣教科所、中學(xué)語文特級教師朱益群老師，朱老師給出了如下釋義：“學(xué)算術(shù)，題目依據(jù)規(guī)律（方法）而命制，規(guī)律（方法）又對題目做出驗證，凡是想要理解一種規(guī)律（方法），必定對應(yīng)地創(chuàng)設(shè)一個題目。”

讀罷，心里既興奮又踏實。興奮的是這句話所表達的意思如我所愿，踏實的是我的想法得到了更好印證。

這讓我聯(lián)想到了我所從事的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。為了讓學(xué)生理解小數(shù)乘法的算理和算法，為了讓學(xué)生理解圖形的周長、面積計算公式，為了讓學(xué)生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)的概念，我們都要創(chuàng)設(shè)一道道相關(guān)的題目。猛然間發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題不正是“必設(shè)一題”的最好證明嗎？楊輝的觀點我們一直沿用至今，足見其價值。

至此，讓我又想起了《這才是好讀的數(shù)學(xué)史》中的一段話：

4000年前的埃及數(shù)學(xué)已經(jīng)是相當(dāng)發(fā)達的知識體系，其內(nèi)容與我們今天所學(xué)習(xí)的計算和幾何的內(nèi)容非常相似，我們今天的中小學(xué)都還在應(yīng)用。它被記錄下來，并通過問題的方式進行教學(xué)，這些問題的例子都是可以模仿的。

“通過問題的方式進行教學(xué)”不正是“凡欲明一法，必設(shè)一題”的體現(xiàn)嗎？這無疑進一步證實了題是教學(xué)數(shù)學(xué)的最佳載體，“凡欲明一法，必設(shè)一題”是數(shù)學(xué)教學(xué)的最佳方式，且這種方式已經(jīng)延續(xù)了幾千年。所以可以得出這樣一個結(jié)論“凡欲明一法，必設(shè)一題”貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史中。

現(xiàn)在，我們必須思考另一個問題：題由誰設(shè)？

就現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，讓學(xué)生獲得知識的題基本已經(jīng)由教材編寫者設(shè)計好了。教材上的題從功能上講，可以分為例題和習(xí)題這樣兩大類。例題一般使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解知識，習(xí)題一般使學(xué)生對知識的理解與掌握更加深刻和深化。

可以這樣說，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的題已經(jīng)比較完備了，主要體現(xiàn)在兩個方面：第一是例題的知識體系已經(jīng)很完備，基本將學(xué)生生活和進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必需的基礎(chǔ)知識涉及到了；第二是例題后的習(xí)題跟進比較完備，作為必要的補充和深化，體現(xiàn)出了逐步提升的層次結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。

那么，這是不是說我們現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，只要按照教材上編排好的這些題，依次按部就班教學(xué)即可？從教學(xué)實際來看，不是這么簡單。也就是說，即使教材編寫者設(shè)計的題已經(jīng)比較完備，但教師依舊要根據(jù)教學(xué)實際需要設(shè)計題目。這種設(shè)計，主要體現(xiàn)在對習(xí)題的改編和創(chuàng)編上。

習(xí)題改編，相信很多教師不會感到陌生，因為這在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種比較常見的行為，此處不再贅述。

下面，重點談一下習(xí)題創(chuàng)編。從“凡欲明一法，必設(shè)一題”可知，每一道數(shù)學(xué)題的創(chuàng)設(shè)，都是有明確目的的，這一點，教材上的每一道題都可證明。所以，教師要創(chuàng)編一道習(xí)題，自然也要有明確的目的，這不僅體現(xiàn)了教師對教材的深度理解，還常常體現(xiàn)著教師對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深度把握。下面這個例子可以較好地說明此觀點。

【習(xí)題創(chuàng)編說明】

平行與垂直是平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系。雖然是在一個課時中教學(xué)的，但一般是作為兩個獨立的內(nèi)容對待的，即平行和垂直各自作為一個教學(xué)環(huán)節(jié)。概念建立后的習(xí)題教學(xué)，也往往以靜態(tài)呈現(xiàn)的方式獨立看待平行和垂直。這樣的習(xí)題，對于學(xué)生更好地理解和掌握平行與垂直的概念固然有很好的促進作用，是需要的。但是，這樣的習(xí)題對于理解平行與垂直之間的關(guān)系——尤其是兩者之間的運動變化關(guān)系，始終沒有顧及。基于這樣的認識，我萌生了要創(chuàng)編一道體現(xiàn)兩者關(guān)系的習(xí)題，意圖引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的視角來看待平行與垂直，更好地理解平行與垂直是平面上兩條直線在運動變化過程中某一時刻的定格，是兩條直線之間的某一特殊位置關(guān)系的表征。

【習(xí)題教學(xué)描述】

教學(xué)時，幾何畫板上直接出示下圖頁面。學(xué)生觀察頁面上的兩條直線，判斷這兩條線之間的位置關(guān)系——相交。

在確認是相交之后，教師提出第一個任務(wù)：“如果現(xiàn)在想讓這兩條直線互相垂直，你有辦法嗎？”此時學(xué)生都能想到：只要把有點“斜”的那一條直線再稍微旋轉(zhuǎn)一下即可（說明：課件邊上的按鈕是用英文字母代替的，以防給學(xué)生暗示）。按照學(xué)生的方式，教師將有點“斜”的那條直線順時針旋轉(zhuǎn)，并請學(xué)生觀察，提醒教師停止的時間。這個時間點是很難控制的，所以課件上還準(zhǔn)備了逆時針的按鈕。經(jīng)過多次調(diào)整，在大家都認為是垂直的時候，出示度數(shù)驗證，如果還不垂直，可通過“垂直”按鈕準(zhǔn)確實現(xiàn)垂直。（如下圖）

在上述過程中，來回多次調(diào)整看似多余，其實是關(guān)鍵，因為正是這個過程，讓學(xué)生深刻體會到了垂直是兩條直線在運動變化中某一特殊時刻的瞬間定格。

完成上述教學(xué)之后，教師提出第二個任務(wù)：“如果這條直線繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，會發(fā)生什么情況？”這里不著急請學(xué)生回答，讓學(xué)生先想象一下。學(xué)生根據(jù)想象，會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，兩條直線就會重合。根據(jù)學(xué)生的想法，教師課件演示，繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，直到重合。

上述教學(xué)實現(xiàn)了從相交到重合的運動變化。同樣，學(xué)生在這個運動變化的過程中就體會到，重合也無非是兩條直線在運動變化過程中的一個瞬間定格而已。

完成上述教學(xué)之后，教師提出第三個任務(wù)：“如果現(xiàn)在想使這兩條直線平行，你有辦法嗎？”學(xué)生自然會想到：只要把其中一條直線向下或者向上平移即可。運用學(xué)生的方法，課件演示向下平移。為了更好地展現(xiàn)“平行”，可借助方格紙進一步幫助證明。一次平移之后，繼續(xù)思考：還能不能繼續(xù)移動？這就是“平行2”按鈕的作用了。

從這道習(xí)題的設(shè)計和教學(xué)可以看出，此題一方面在進一步鞏固學(xué)生對于平行與垂直的理解，另一方面——也是本題創(chuàng)編的核心目標(biāo)——引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的視角看待垂直、重合與平行的關(guān)系，加深對平行與垂直的理解。

所以，題由誰設(shè)？就我們現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，題主要是由教材編寫者設(shè)計。但這不是全部，題，也需要作為教學(xué)執(zhí)行者的教師自己來設(shè)計。

教材編寫者設(shè)計的題，是基于數(shù)學(xué)知識體系的邏輯結(jié)構(gòu)和教學(xué)的一般原理考慮的，具有很強的普適性。教師自己設(shè)計的題，是基于自己教學(xué)的具體實際需要和對數(shù)學(xué)的自我理解而考慮的，具有很強的個人色彩。當(dāng)然，兩者的目的一定是一致的，都是為了學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

綜上所述，作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要努力做好“習(xí)題執(zhí)行者”這個基礎(chǔ)角色，也要努力成為“習(xí)題設(shè)計者”這個“高光”角色。特別值得一提的是，教師創(chuàng)編習(xí)題的過程，也能有效促進自我的專業(yè)成長。

“凡欲明一法，必設(shè)一題”，于學(xué)生，于教師，同樣重要。