將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的探討和實(shí)踐

王海萍

【摘要】傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式以理論證明和套用公式計(jì)算為主，學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)僅限于枯燥無(wú)趣的微積分運(yùn)算，對(duì)高等數(shù)學(xué)更為深刻的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值認(rèn)識(shí)得不夠充分，所以有必要將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想滲透到高職數(shù)學(xué)教學(xué)之中.學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的思想和精神，無(wú)形中提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力，面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象能抓住主要矛盾并有效地解決問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)將使學(xué)生受益終生.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)思想;高職數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程，每一名同學(xué)都是從小學(xué)就開(kāi)始作為正式的課程學(xué)習(xí)，一直持續(xù)到大學(xué)課堂.對(duì)于理工科的大學(xué)生來(lái)講，高等數(shù)學(xué)是一門重要的公共基礎(chǔ)課程，但也是很多學(xué)生比較頭疼的課程.甚至可以毫不夸張地講，對(duì)部分學(xué)生而言高等數(shù)學(xué)是揮之不去的“噩夢(mèng)”.

在數(shù)學(xué)課程上，突出的問(wèn)題就是學(xué)生的學(xué)和教師的教兩者之間的矛盾，一方面學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)課枯燥無(wú)味，聽(tīng)不懂，學(xué)不會(huì)，又覺(jué)得數(shù)學(xué)課沒(méi)什么用處;另一方面是教師在課堂上無(wú)法照顧到所有學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣均有難度.

這種現(xiàn)象在很多高等院校中都存在，有的是因?yàn)閿?shù)學(xué)課程本身的特點(diǎn)造成的，有的是因?yàn)閷W(xué)生在所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中受到的各種影響，也有的是因?yàn)榻處煹慕虒W(xué)方式和手段對(duì)學(xué)生造成的影響.不管是哪種原因，影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各種負(fù)面因素不是獨(dú)立存在的，而是相互影響的.既然存在這種狀況，我們就要正確面對(duì)，并想辦法去解決.通過(guò)對(duì)班級(jí)學(xué)生的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，筆者了解到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的“望而卻步”在很大程度上與從小學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程有關(guān)系——學(xué)生接受了太多的填鴨式教學(xué)過(guò)程.尤其在高中階段，很多學(xué)校為了高考采用 “刷題”模式，成百上千次的課堂訓(xùn)練、試卷模擬，把學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好感消磨殆盡.所以針對(duì)目前的狀況，我們除了要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要重拾學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，因而我們想到有必要把數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想引入課堂教學(xué).

1995年，中華人民共和國(guó)教育部制定了《關(guān)于加強(qiáng)大學(xué)生文化素質(zhì)教育的若干意見(jiàn)》，組織編寫了大學(xué)生文化素質(zhì)教育書系，數(shù)學(xué)文化教育是其中的內(nèi)容之一，如2000年張楚廷編寫出版的《數(shù)學(xué)文化》.2001年2月，“數(shù)學(xué)文化”課在南開(kāi)大學(xué)正式開(kāi)設(shè)，受到學(xué)生的熱烈歡迎.但是數(shù)學(xué)文化的精華不僅要以科普的形式出現(xiàn)，更要把數(shù)學(xué)文化和思想融入和滲透到課堂教學(xué)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中去了解課本之外的更為廣闊的天地.

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了.” 微積分對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)劃時(shí)代的不朽的貢獻(xiàn)就是它把運(yùn)動(dòng)變化和無(wú)限的思想引入數(shù)學(xué).微積分使人類第一次能夠明確把握局部與整體、微觀與宏觀、過(guò)程與狀態(tài)、瞬間與階段的聯(lián)系，并最終成為一種基本的數(shù)學(xué)思想.微積分的建立，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展史的里程碑，而且對(duì)其他學(xué)科及科學(xué)技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響，充分彰顯了數(shù)學(xué)對(duì)人類社會(huì)發(fā)展和改造世界的偉大貢獻(xiàn).

微分學(xué)的主要內(nèi)容包括極限理論、導(dǎo)數(shù)和微分.教師在講授極限理論時(shí)，可向?qū)W生講授我國(guó)古代數(shù)學(xué)家用到的極限思想和方法，如兩千多年前古人就知道極限思想，“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫《九章算術(shù)注》，里面提到的歷史上有名的“割圓術(shù)”也利用了極限思想.所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓的面積，并以此求取圓周率的方法.“割圓術(shù)”在人類歷史上首次將極限和無(wú)窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，充分體現(xiàn)了古代人民的智慧和偉大.后來(lái)南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之在劉徽“割圓術(shù)”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求得圓周率更為精確的值.

教師在講解導(dǎo)數(shù)概念之前，可以給學(xué)生講一下微積分產(chǎn)生的歷史背景.16世紀(jì)的歐洲，航海、機(jī)械制造及軍事上的需要等使得關(guān)于運(yùn)動(dòng)的研究成了自然科學(xué)的重要議題，而現(xiàn)有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)難以滿足科學(xué)發(fā)展的需求.到了17世紀(jì)，科學(xué)的發(fā)展提出了許多技術(shù)上的新要求，所涉及的加速度和速度每時(shí)每刻都在變化.例如，計(jì)算瞬時(shí)速度就不能像計(jì)算平均速度那樣用移動(dòng)的距離除以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因?yàn)樵谝凰查g物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和距離都是0，從數(shù)學(xué)角度看，00是無(wú)意義的，而從物理角度看，物體運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必定是與速度有關(guān)的.這些問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)提出了更高的新的要求，也就促使了微積分的產(chǎn)生.教師將導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義重點(diǎn)講解，也順勢(shì)在這里引入導(dǎo)數(shù)的概念.在這樣的歷史背景下再講解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣會(huì)很濃厚，對(duì)內(nèi)容的印象和理解都非常深刻，自然提高了學(xué)習(xí)效率，一舉兩得.對(duì)教師而言，這樣的模式可以達(dá)到事半功倍的效果.

積分學(xué)的主要內(nèi)容是不定積分和定積分.在積分的內(nèi)容里，有一個(gè)非常重要的公式，就是牛頓—萊布尼茨公式：∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）.不能不說(shuō)這是微積分發(fā)展史上的一個(gè)偉大成就，這個(gè)公式把看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的不定積分和定積分聯(lián)系起來(lái)，更是把整個(gè)微積分的內(nèi)容關(guān)聯(lián)在一起.有了這個(gè)公式，人們才發(fā)現(xiàn)微分和積分既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的.學(xué)生對(duì)科學(xué)家牛頓的了解大多停留在“他是一位偉大的物理學(xué)家”，卻不知道牛頓還是一位偉大的數(shù)學(xué)家.作為微積分的奠基人之一，牛頓在數(shù)學(xué)多個(gè)方面都做出了貢獻(xiàn).所以，教師布置課后作業(yè)時(shí)，給學(xué)生的任務(wù)就是查閱資料，寫一篇關(guān)于牛頓的小論文，主要論述牛頓在數(shù)學(xué)方面的功績(jī)，這也可以作為平時(shí)考核的一部分.在發(fā)明微積分的功績(jī)中，萊布尼茨的符號(hào)精簡(jiǎn)獨(dú)到，一直沿用至今.為了加深學(xué)生對(duì)積分記號(hào)的印象，教師可以告訴學(xué)生積分記號(hào)“∫” 是用拉丁文summa（求和）的第一個(gè)字母s拉長(zhǎng)了表示積分，這個(gè)s不僅有“求和”的意思，同時(shí)有“面積”的含義，為后面定積分應(yīng)用于求面積做下很好的鋪墊.萊布尼茨的身份除了數(shù)學(xué)家，還是外交官、法學(xué)家、歷史學(xué)家，更是偉大的哲學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面均有重要貢獻(xiàn).牛頓和萊布尼茨都是天才和功績(jī)頗多的科學(xué)家，兩位科學(xué)家關(guān)于這個(gè)偉大公式優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)議也存在了很長(zhǎng)一段時(shí)間.對(duì)于這段歷史，教師可以讓學(xué)生做相關(guān)的了解.除了這兩位科學(xué)家，17世紀(jì)許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決問(wèn)題做了大量的研究工作，如法國(guó)的笛卡爾、費(fèi)爾瑪，英國(guó)的瓦里士及牛頓的老師巴羅，德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒等，他們都提出了許多很有建樹的理論，為后來(lái)微積分的發(fā)展和完善奠定了良好的基礎(chǔ).

在微積分的授課過(guò)程中，教師可以向?qū)W生介紹這些知識(shí)是如何傳入我國(guó)的.1859年，傳教士偉列亞力和我國(guó)近代著名數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家李善蘭合作的譯著《代微積拾級(jí)》出版，是東方現(xiàn)代數(shù)學(xué)的啟蒙.后來(lái)，李善蘭又和偉列亞力合作，第一次把萬(wàn)有引力定律及天體力學(xué)知識(shí)介紹到中國(guó).這些內(nèi)容在一些歷史教科書上也曾經(jīng)提到過(guò)，教師可以讓熟悉歷史的學(xué)生利用課間或其他時(shí)間講給其他同學(xué)聽(tīng)，也可以作為課外科普作業(yè).

需要注意的是：把這些數(shù)學(xué)歷史故事和數(shù)學(xué)思想引入課堂教學(xué)需要巧妙合理的構(gòu)思和安排，不能把數(shù)學(xué)課變成歷史課或科普課.中國(guó)科學(xué)院院士李大潛教授曾經(jīng)講過(guò)： “無(wú)論是弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，還是增進(jìn)數(shù)學(xué)教養(yǎng)，都應(yīng)該是也只能是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的，是必須以認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、嚴(yán)格加強(qiáng)數(shù)學(xué)訓(xùn)練作為載體來(lái)完成的.我們不應(yīng)該將弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以外的東西，想方設(shè)法從外面加進(jìn)來(lái)，相反，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到這是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的內(nèi)在要求和有機(jī)組成.”

在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，教師要讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)不僅是一門學(xué)科、一種工具，也是一種理性的思維、一種先進(jìn)的思想、一種富有內(nèi)涵的文化素質(zhì).學(xué)習(xí)過(guò)的公式、定理可能會(huì)忘記，但過(guò)濾掉這些數(shù)學(xué)知識(shí)之后剩下的思想對(duì)一個(gè)人更加有用.雖然這些思想摸不著、看不見(jiàn)，但是擁有這些數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)，在遇到各種問(wèn)題時(shí)會(huì)讓一個(gè)人有條理地理性思維，嚴(yán)密地思考，可以清晰準(zhǔn)確地表達(dá)描述事物，會(huì)潛移默化地影響一個(gè)人的工作和生活，所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”正是如此.

教師在向?qū)W生講授數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，要把數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值展現(xiàn)出來(lái)，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)會(huì)更加明確，學(xué)習(xí)的興趣會(huì)更加濃厚.除了給學(xué)生講授數(shù)學(xué)的歷史文化，教師更要把數(shù)學(xué)在當(dāng)今高科技社會(huì)中發(fā)揮的作用告訴學(xué)生.數(shù)學(xué)本身的發(fā)展會(huì)給其他學(xué)科帶來(lái)更多的應(yīng)用價(jià)值.數(shù)學(xué)的作用也許在幾十年甚至幾百年之后才能體現(xiàn)出來(lái).例如，今天與我們每個(gè)人都相關(guān)的互聯(lián)網(wǎng)，其生命線之一就是依賴傅里葉變換.傅里葉是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，是拿破侖非常欣賞的一位數(shù)學(xué)家.如果沒(méi)有傅里葉變換，就不可能有今天的手機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)和很多高科技.可以說(shuō)，如果沒(méi)有傅立葉變換，就沒(méi)有現(xiàn)代通信的發(fā)展.一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)公式為今天的科技發(fā)展和進(jìn)步做出了杰出的貢獻(xiàn)，這在幾百年前是無(wú)法想象的.

在我們引以為傲的華為公司，至少有700名數(shù)學(xué)家在做著基礎(chǔ)研究工作.

華為公司早在1999年就在俄羅斯建立了第一個(gè)數(shù)學(xué)研究所，以算法為主要研究方向.華為俄羅斯研究所的數(shù)學(xué)家打通了不同網(wǎng)絡(luò)制式之間的算法，幫助運(yùn)營(yíng)商節(jié)省了30%以上的成本，并且更加綠色環(huán)保，讓華為在這個(gè)領(lǐng)域處于絕對(duì)領(lǐng)先.2015年起，俄羅斯科學(xué)院系統(tǒng)規(guī)劃所啟動(dòng)了與華為的固定合作，為華為提供程序代碼和資料分析服務(wù).基于這些研究成果，華為開(kāi)發(fā)了創(chuàng)新性算法，將華為設(shè)備的可用帶寬提高了一倍.2016年，華為在法國(guó)設(shè)立第二個(gè)數(shù)學(xué)研究所，旨在挖掘法國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)資源，致力于通信物理層、網(wǎng)絡(luò)層、分布式并行計(jì)算、數(shù)據(jù)壓縮存儲(chǔ)等基礎(chǔ)算法研究，長(zhǎng)期聚焦5G等戰(zhàn)略項(xiàng)目和短期產(chǎn)品，完成分布式算法全局架構(gòu)設(shè)計(jì)等.過(guò)去的華為公司主要是工程師的創(chuàng)新，側(cè)重于產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)，現(xiàn)在華為加大了基礎(chǔ)科學(xué)技術(shù)和基礎(chǔ)工程技術(shù)的創(chuàng)新投入，數(shù)學(xué)就成為拉開(kāi)芯片和軟件差距的關(guān)鍵.華為持續(xù)在數(shù)學(xué)上投資，如在俄羅斯研究所招聘了數(shù)十名全球頂級(jí)的數(shù)學(xué)家，創(chuàng)造性地用非線性數(shù)學(xué)多維空間逆函數(shù)解決了GSM多載波干擾問(wèn)題，使華為在全球第一個(gè)實(shí)現(xiàn)了GSM多載波合并，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了2G、3G、LTE的單基站設(shè)計(jì).任正非先生將此歸功于“數(shù)學(xué)的力量”，可見(jiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的價(jià)值和魅力真的無(wú)比巨大.

數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)家的研究和探討密切相關(guān).我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在世界數(shù)學(xué)史上占有重要的地位，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn).我們的科學(xué)技術(shù)曾經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于西方發(fā)達(dá)國(guó)家，在西方工業(yè)文明興起之時(shí)，我國(guó)還處在落后的封建社會(huì)，所以我們學(xué)習(xí)的微積分是西方科學(xué)技術(shù)發(fā)展的知識(shí)結(jié)晶.中華人民共和國(guó)成立以后，我國(guó)涌現(xiàn)出一批杰出的數(shù)學(xué)家，如華羅庚、蘇步青、陳景潤(rùn)、王元、吳文俊等.吳文俊先生作為一位有戰(zhàn)略眼光的數(shù)學(xué)家，一直在思索數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣發(fā)展，并終于在對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究中得到啟發(fā).吳文俊先生認(rèn)為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化思想與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)是相通的.他提出的用計(jì)算機(jī)證明幾何定理的方法（國(guó)際上稱為“吳方法”），遵循中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中幾何代數(shù)化的思想，首次實(shí)現(xiàn)了高效的幾何定理自動(dòng)證明，顯現(xiàn)了無(wú)比的優(yōu)越性.吳文俊先生因?yàn)樵跀?shù)學(xué)領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)于2001年獲首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng).由此也可以看出我國(guó)對(duì)基礎(chǔ)學(xué)科的重視和對(duì)研究者的尊重.

數(shù)學(xué)將千萬(wàn)種自然現(xiàn)象和規(guī)律歸結(jié)為簡(jiǎn)單而漂亮的公式，我們不得不感嘆自然界的和諧美妙，就像古人說(shuō)的“大道至簡(jiǎn)”.很多偉大的公式改變了人類歷史發(fā)展的進(jìn)程，推動(dòng)著社會(huì)不斷進(jìn)步.今天人類能夠進(jìn)入太空，利用核能發(fā)電等，這些數(shù)學(xué)公式起到了不可替代的作用.教師講解這些公式時(shí)，要結(jié)合當(dāng)時(shí)的歷史背景、蘊(yùn)含的文化底蘊(yùn)和學(xué)術(shù)淵源，還要結(jié)合其在當(dāng)代的發(fā)展和應(yīng)用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與科學(xué)人文、社會(huì)發(fā)展、人類進(jìn)步交相輝映的無(wú)窮魅力.

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