例說數(shù)學(xué)建模 抓牢知識應(yīng)用

何先

【摘要】數(shù)學(xué)教育不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要教給學(xué)生運用所學(xué)知識去解決實際問題。教師要善于在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的概念法則和解題方法進行模型化，使學(xué)生既能掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，又能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活和生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題。這種應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的所在。教學(xué)中，務(wù)必抓牢抓實。

【關(guān)鍵詞】建模? ?抓牢? ?應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）20-099-02

在百科中是這樣描述數(shù)學(xué)建模的：數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）是利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要手段。數(shù)學(xué)教育不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要教給學(xué)生運用所學(xué)知識去解決實際問題。教師要善于在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的概念法則和解題方法進行模型化，使學(xué)生既能掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，又能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活和生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這種應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。它和真實的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。那通過怎樣的流程，能夠?qū)嶋H問題與數(shù)學(xué)模型有機地融合在一塊呢？以下利用數(shù)學(xué)中的直線對稱模型來解決生活中的一類實際問題。

【問題情景】在一條河道（近似直線）的一邊有A、B兩個村莊，設(shè)A、B到河道的垂直處分別為C、D，經(jīng)測量AC=2km，BD=3km，CD=4km，現(xiàn)欲在河道邊建造一個小型自來水廠，給A、B兩村提供生活用水，問自來水廠建在什么位置，使鋪設(shè)到A、B兩村所用水管的總長最節(jié)省？鋪設(shè)水管的總長最小值是多少？

【模型假設(shè)】本題是一個實際生活中的應(yīng)用問題，把它放在數(shù)學(xué)中，設(shè)自來水廠建造位置為M，實際上就是求AM+BM的最小值（如圖）。如何求最小值呢？因為AMB是一條折線，我們能不能把這三個點拉到同一條直線上來呢？這就需要利用數(shù)學(xué)中的對稱方法來實現(xiàn)了。下面我們先來看看，數(shù)學(xué)中是怎樣求一個點關(guān)于一條直線的對稱點坐標的？

【模型準備】一個點關(guān)于一條直線的對稱點坐標的求法：

設(shè)點P（x0，y0）關(guān)于直線l：Ax+By+c=0的對稱點為Q（x'，y'），那怎樣來求x'，y'的值呢？在解析幾何中是從以下兩個方面著手考慮的：

【模型建立】在前面的問題中，問自來水廠建在什么位置，使鋪設(shè)到A、B兩村所用水管的總長最節(jié)省（如圖）。下面我們一起來利用數(shù)學(xué)中的關(guān)于直線對稱問題的模型進行探索：

首先作點A關(guān)于直線CD的對稱點A'，根據(jù)對稱性質(zhì)有AM=A'M，所以AM+BM=A'M+BM，故只需求出A'M+BM的最小值。根據(jù)兩點之間線段最短，此時連接A'B，與直線CD的交點M， 就是自來水廠建造的位置。

【模型求解】以CD所在直線為x軸，CD的中點O為坐標原點建立直角坐標系（如圖），依題意得，A（-2， 2），B（2， 3），作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，則A'（-2， -2）。

根據(jù)對稱性質(zhì)，有AM=A'M，∴AM+BM=A'M+BM，故只需求出A'M+BM的最小值。根據(jù)兩點之間線段最短，此時連接A'B，與直線CD的交點M，可使A'M+BM取最小值，所以點M就是自來水廠建造的位置。

而線段A'B的長度就是自來水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管總長的最小值。

即AM+BM的最小值是6.4km。因此，自來水廠應(yīng)建在CD之間，離D點距離是2.4km處，而自來水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管總長的最小值是6.4km.

【模型分析】此問題中，看似求距離之和最小，實則通過分析我們發(fā)現(xiàn)，它實際上可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的對稱問題和兩點間的距離問題加以解決，這樣就建立了關(guān)于直線對稱問題的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)了將實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題這一跨越，完成了數(shù)學(xué)建模這一高級進程，這在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力方面，又邁上了一個新臺階，是一個非常重要的突破。

【模型驗證】為什么自來水廠建在A'B與直線CD的交點處M時，才能使自來水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管的總長最節(jié)省呢？我們不妨在CD之間任取一點M'（異于圖中的點M）， 這時我們只需比較AM+BM與AM'+BM'的大小。根據(jù)對稱性質(zhì)有：AM'=A'M'，所以AM'+BM'=A'M'+BM'，

因為AM+BM=A'B，所以，轉(zhuǎn)換為比較A'B與A'M'+BM'的大小。

顯然，在△A'BM'中，有A'M'+BM'>A'B。所以，自來水廠只有建在A'B與直線CD的交點處M時，自來水廠到A、B兩村鋪設(shè)水管的總長最節(jié)省。

這就充分驗證我們求出的結(jié)果與現(xiàn)實生活中的處理方法是相符的，是完全合理的。

【模型應(yīng)用】從上面實例我們知道，利用直線對稱的模型，解決了生活中關(guān)于距離之和的最小值問題，現(xiàn)在我們進一步運用這個模型，來解決生活中的類型問題。

【題】已知A（0，0）、B（4，0）、C（0，4）， 光線從邊AB的中點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原來的點P（如圖）.則光線所經(jīng)過的路程等于（? ? ）

A.2? 10 ? ? B.1 ? ?C.3? 3? ? ? ? D.2? 5