數學文化在高中數學中的滲透

王寧

摘 要：數學文化是數學史、數學文化學和社會學的交叉學科。在數學發展的過程中，隨著數學知識的生成、和傳播，數學思維方法、數學的思想和數學的精神品質對人類的發展是具有重要的促進和啟示價值的。

關鍵詞：數學文化 高中數學 滲透

教育部考試中心用公文明確提出，要在高考中體現數學文化。這就要求高考試題在滲透數學文化的同時，要注意與數學知識的有機結合和理性思維的本質內涵。通過創設新的情境、改變設計方法、選擇合適的知識內容等方法，加強學生的數學文化學習，重視數學文化的弘揚。

近年來，數學高考進行了大膽的嘗試。除了能力考試的要求外，在高考數學試題編制也注重數學文化的滲透，特別是中國古代優秀的傳統文化的滲透，為了促進學生的發展理性思維，數學內容的改革的目標和能力考試新時期。

一、立體幾何中的數學文化

祖暅是偉大數學家，5世紀末所提出的體積原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何圖形會被與這兩個平面平行的任何平面截斷，如果截面的面積相同，則這兩個幾何圖形的體積必須相同。現有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖1、圖2、圖4分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

解：設截面與底面的距離為h，則①中截面內圓的半徑為h，則截面圓環的面積為;②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為;③中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為;④中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為。所以①④中截面的面積相等，故其體積相等。故選D。

二、概率統計中的數學文化

圓的任何一對平行切線間的距離總是相等的，即圓在任意方向都有相同的寬度，具有這種性質的曲線叫作“等寬曲線”。事實上存在著大量的非圓等寬曲線，以工藝學家勒洛命名的勒洛曲邊三角形，就是著名的非圓等寬曲線。它的畫法（如圖1）：畫一個等邊三角形ABC，分別以A，B，C為圓心，邊長為半徑，作圓弧這三段圓弧圍成的圖形就是勒洛曲邊三角形。它的寬度等于原來等邊三角形的邊長。等寬曲線都可以放在邊長等于曲線寬度的正方形內（如圖2）。在圖2中的正方形內隨機取一點，則這點落在勒洛曲邊三角形內的概率是（）

圖1? ? ? ? ? ? ?圖2

A.B.C.D.

解：不妨設等邊三角形的邊長為1，則正方形的面積為1，勒洛曲邊三角形的面積為。故選A。

三、推理與證明中的數學文化

我國南北朝時期的數學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）： “冪勢既同，則積不容異”。“勢”即是高，“冪”是面積。意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。已知雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，一個焦點為（，0）。直線y=0與y=3在第一象限內與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為________。

解：由題意可得雙曲線的方程為，直線y=a在第一象限內與漸近線的交點N1的坐標為，與雙曲線的交點B1的坐標為，記直線y=a與y軸交于點M，因為π|MB1|2-π|MN1|2=π，即該幾何體任意水平截面積恒等于π，根據祖暅原理，可得旋轉體的體積為3π。故填3π。

四、數學文化與其他

如圖所示：假設一探測衛星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行。若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：

①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;

③;④c1a2>a1c2。

其中正確式子的序號是（）

A.①③? B.①④? C.②③? D.②④

解：觀察圖形可知a1>a2，c1>c2，所以a1+c1>a2+c2，即①式不正確;a1-c1=a2-c2= |PF|，即②式正確;由a1-c1=a2-c2>0，c1>c2>0，知，即，從而c1a2>a1c2，，即④式正確，③式不正確。故選D。

本題以探測衛星軌道為背景，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質，并以加減乘除的方式構造兩個等式和兩個不等式，考查橢圓的幾何性質。