導數概念的教學設計

諶鳳霞 陳娟

摘 要：導數是微分學中重要的核心概念，其產生的背景深刻且應用廣泛。基于“以學為中心”的教學要求，通過問題導入、啟發探究、應用舉例、知識總結、課后鞏固等設計環節，調動了學生在已有知識的基礎上，主動探索新知識的信心，引導學生自主探究掌握知識，激發學生學習熱情。

關鍵詞：導數的概念;教學設計

《高等數學》是我校工科類、管理類本科專業必修的一門公共基礎課程。本課程的培養目標是通過高等數學基本概念、基本理論及基本運算的學習使學生具有分析、解決專業中實際問題的能力，從而培養學生主動探索、勇于發現的科學精神。“導數的概念”在《高等數學》課程的學習中起到貫穿始終、承上啟下的作用。

本次課依據專業需求教高數、技術發展教方法、學生志趣改手段，采用靈活多樣的教學方法，通過任務驅動引入教學內容，案例式教學、參與式教學實施教學內容，結合網絡平臺完成知識的傳授、內化和升級，這種教學模式，營造了學生想學、樂學的教學氛圍。在學習方法上，注重培養學生自主學習、合作探究、總結反思三種能力，使學生從“我學會”轉變成“我會學”。

導數是微分學中重要的核心概念，其產生的背景深刻且應用廣泛。本次課設計的重點是如何把導數產生的背景、廣泛的應用、抽象的概念和厚重的歷史文化有機地融合并滲透到德育和智育中去。為此，本節課引導學生在日常生活中乘坐高鐵時觀察到的兩個細節入手，采用問題驅動模式，運用極限方法開展探究。讓學生經歷提出問題，分析問題和解決問題的全過程，培養學生的觀察能力、抽象概括能力、分析問題和解決問題的能力。通過不同背景問題共性的概括，導數概念的產生自然是水到渠成。

一、創設情境、導入新課

函數是高等數學研究的主要對象。在第一章我們用極限方法研究了函數的連續性。這一章我們繼續使用極限方法給出研究函數的一個有力工具。請同學們看一個短視頻，短片中飛馳的高鐵是我國創新能力的標志性成果，也是我國向世界遞出的一張靚麗的名片。

短片中兩個細節引起的問題值得同學們的思考。第一個是電子屏清晰地顯示了高鐵在變速行駛中每個時刻的速度，這個瞬時速度怎樣求出來的？第二個問題，當高鐵駛入彎道時，為保持高鐵的平穩運行，彎道的設計會涉及到求曲線的切線斜率，這個切線斜率又如何求解呢？

設計意圖：通過精心設計的視頻短片，使學生聯系實際，吸引學生注意力，激發學生解決問題的積極性。

1、 瞬時速度

設質點做變速直線運動，其位置函數為s=f（t），時刻t0處的位置為f（t0），怎樣求t0時的瞬時速度呢？

我們現在不會求瞬時速度，因為這是個速度是變化的，但同學們會求平均速度。為此，再取一個時刻t，就可計算出從t0到t時間間隔內的平均速度，即

當所取的時間間隔很小時，用平均速度近似代替t0時的瞬時速度。 若所取的時間間隔越小，則這個平均速度就越接近t0時的瞬時速度。讓t無限地趨近t0 ，若平均速度的極限存在，大家看，這個極限值就是什么？ 對，就是高鐵在t0時的瞬時速度。

2、切線的斜率

當點N沿曲線C無限接近于點M（動畫演示切線形成過程）。割線MN的極限位置就是曲線C在點M處的切線。

當點N沿曲線C無限接近于點M時，則有x→x0。對割線MN的斜率，取x→x0時的極限，若極限存在，則該極限值就是切線MT的斜率。

設計意圖：通過對兩個引例的解釋，幫助學生思考解決問題的關鍵與方法途徑，為新課的學習做好鋪墊。

二、啟發探究、揭示本質

回顧這兩個問題，這兩個問題有什么共性呢？

對，雖然這兩個問題的背景不同，但從數學上看二者本質卻是相同的，都歸結為函數在一點處的改變量和自變量改變量之商的極限。這個商的分子是函數值之差，分母是自變量之差，所以這種形式的極限也稱為差商的極限。我們就把這種差商的極限抽象出來，上升為數學上的概念，就是導數的定義。

三、應用舉例、鞏固概念

例1 求函數y=x2在點x=2處的導數。

例2 求函數y=sinx在點x=1處的導數。

選擇了簡單而具有代表性的兩個例子，采用板書推導，嚴格給出解答步驟，培養學生規范解題與書寫的能力。讓同學們討論如何判斷函數在一點是否可導？并討論總結出求函數導數的一般步驟。讓同學們知道導數的定義式既可用于判定又可用于計算，加深對課程內容的理解。

四、知識拓展、提升技能

（1）如何定義函數f（x）在閉區間 [a， b]上可導呢？

（2）函數f（x）在一點處可導與在這點處有切線是什么關系？函數連續與可導的關系？

（3）導數的幾何意義。

五、知識總結、深化學習

（1）通過思維導圖的動畫形式對本課主要內容和知識點進行總結，形式有趣，更容易達到教學效果。

（2）本課課后，在課堂派上發布課后作業，通過作業為掌握導數的基本公式做好準備。

（3）思考問題：求函數y=sinx，y=logax的導數，老師和同學們在課堂派中交流討論。課后鞏固過關，對作業及時批閱和針對性的輔導。

本節課使用了信息化教學手段，使得課堂上信息來源變得豐富多彩;采用翻轉課堂教學模式，使學生帶著準備進入課堂，成為學習過程的中心，主動的參與課堂教學，全面提高課堂的互動;創設學生感興趣的學習情境，引導學生自主探究掌握知識，激發學生學習熱情;教學環節，環環相扣，層層遞進，成功將學生留在了課堂;任務驅動、小組合作相結合突破教學重難點，真正實現了做中學、做中教、教學做合一。

[參考文獻]

[1]《高等數學》——百度百科.

[2]馮穎. 常數項級數的微課教學設計，高等數學研究. 2017， 20（3）.

（作者單位：廣東科技學院，廣東 東莞 523000）