數(shù)學(xué)文化融入高三課堂的實踐與思考
——以斐波那契數(shù)列為例

陳銀輝 葛文明 (江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) 225009)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出數(shù)學(xué)文化要融入課程內(nèi)容．高三以復(fù)習(xí)課為主，課時緊容量大，數(shù)學(xué)文化的融入更受限制，一些優(yōu)秀的文化素材可以進(jìn)行精選、加工，再有機(jī)嵌入課堂內(nèi)容中，教學(xué)設(shè)計既關(guān)注所復(fù)習(xí)內(nèi)容的文化挖掘，又著眼于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根．本文以斐波那契數(shù)列融入數(shù)列單元復(fù)習(xí)為例，淺談數(shù)學(xué)文化融入高三一輪復(fù)習(xí)課堂的實踐與反思．

1 前期教學(xué)分析

斐波那契數(shù)列是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)(必修5)·蘇教版》[1]第62—64頁的閱讀材料，高一時學(xué)生作為鏈接閱讀材料去讀，初步了解了斐波那契數(shù)列的由來及應(yīng)用，高一高二多以斐波那契數(shù)列做為興趣課和拓展課，涉及斐波那契數(shù)列的有趣性質(zhì)在自然、繪畫、建筑中的應(yīng)用等，側(cè)重于數(shù)學(xué)的美學(xué)賞析．斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)與自然的完美結(jié)合,是數(shù)列中的一顆璀璨明星，如果說該數(shù)列的外在美是由內(nèi)而發(fā)的，那么關(guān)于斐波那契數(shù)列的通項、求和等問題就不可不提．

筆者在高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)列概念時提及斐波那契數(shù)列，學(xué)生對這個有現(xiàn)實背景的數(shù)列很感興趣，但此了解僅限于課本閱讀材料，高一高二并無拓展．教科書所運(yùn)用的有關(guān)數(shù)學(xué)文化的素材，其功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是點綴，只有在更高水平上將其融入，才能發(fā)揮其更大的價值．?dāng)?shù)列是特殊的離散函數(shù)，斐波那契數(shù)列與等差等比數(shù)列一樣，都是從現(xiàn)實背景抽象概括出的重要函數(shù)模型，它們是一脈相承的,可類比研究，斐波那契數(shù)列模型的建立有助于學(xué)生對數(shù)列單元形成系統(tǒng)的理解和把握．在不影響進(jìn)度，不增加負(fù)擔(dān)的約束條件下，以學(xué)生的興趣和基礎(chǔ)為出發(fā)點，如何將斐波那契數(shù)列融入課堂，以期達(dá)到提升能力，落實核心素養(yǎng)的目標(biāo)最大化呢？高三學(xué)生對各個模塊及相應(yīng)單元有了基本的知識和方法框架，數(shù)學(xué)文化更易滲透，從單元設(shè)計的視角，斐波那契數(shù)列不僅有著豐富的實際問題情境和完美的外在呈現(xiàn)，而且可圍繞由遞推關(guān)系求通項、求和等核心問題展開，這為后續(xù)的整體教學(xué)設(shè)計提供了可行性．

2 教學(xué)片段過程

2.1 數(shù)列概念復(fù)習(xí)課融入數(shù)學(xué)文化

數(shù)列概念課復(fù)習(xí)時，回歸課本，重提斐波那契數(shù)列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ….800多年前，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在它的傳世之作《算盤書》里提出了有名的兔子繁殖問題．

師：一對兔子一年可繁殖多少對兔子呢？記第n個月的兔子對數(shù)為an，你能找到該數(shù)列的規(guī)律和通項嗎？

生：第13項是233，我發(fā)現(xiàn)數(shù)列的每一項等于前面兩項之和，但通項很難寫出來．

圖1

師：如圖1觀察蜜蜂爬過六角形蜂房所取的不同路線，假定該蜜蜂是向相鄰的蜂房移動并且總是向右移動，那么蜜蜂移動到蜂房11有多少條路線呢？發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

生：到蜂房0有1條路線，到蜂房1有1條路線，到蜂房2的路線數(shù)是到蜂房0和蜂房1的路線數(shù)之和，照此規(guī)律，路線數(shù)恰好符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，到蜂房11的路線數(shù)是a12=144．

回歸課本豐富的情景素材，編制問題供學(xué)生探究，引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律表達(dá)為數(shù)列的遞推關(guān)系an+2=an+1+an，提出通項問題為后面埋下伏筆．由兔子問題衍生出來的斐波那契數(shù)暗藏在樹丫、花瓣，松果、向日葵種子中．以上融入讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)是解密自然規(guī)律的一種語言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，理解數(shù)列是刻畫現(xiàn)實世界中一類具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．

2.2 數(shù)列遞推關(guān)系求通項課融入數(shù)學(xué)文化

通過表1回顧等差等比數(shù)列的有關(guān)問題，通過類比去研究斐波那契數(shù)列．

表1

求斐波那契數(shù)列的通項前，學(xué)生已復(fù)習(xí)常用求通項方法，學(xué)生已掌握由連續(xù)兩項遞推關(guān)系的求通項問題，形如an+1=pan+q(p≠1,q≠0)，an+1=pan+q·pn(p≠1,q≠0)，通過配常數(shù)或者同除冪構(gòu)造等差或等比數(shù)列．斐波那契數(shù)列是連續(xù)三項的遞推關(guān)系，有以上基礎(chǔ)去求通項也是困難的，復(fù)習(xí)該節(jié)時學(xué)生恰遇到這樣一個問題：

引例 已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=1，且an+1= (1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0)．

(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*)，證明{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

師：以上過程中，你是怎么把三項遞推關(guān)系化歸為兩項關(guān)系的？

生：主要是把中間項an拆開，與an+1,an-1重組，構(gòu)造新數(shù)列bn為等比數(shù)列．

師：你能類比處理斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系嗎？

問題1已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an，求數(shù)列{an}的通項公式．

問題1′已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an．

(1)若{an+1+λan}為等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

問題1是引例的變式，課堂內(nèi)容的生成和生長讓探究有章可循．若課堂時間緊張，可適當(dāng)降低難度，改編為問題1′，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．令人贊嘆的是，每項都是正整數(shù)的數(shù)列竟然可以用無理數(shù)表示，而且這個式子有很完美的對稱性，還與黃金分割數(shù)有關(guān)系．其實，斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，因其相鄰兩數(shù)的比值無限地趨向黃金分割數(shù)而得名．

2.3 數(shù)列求和課融入數(shù)學(xué)文化

師：我們已經(jīng)掌握了等差等比數(shù)列的求和及分組求和法、裂項相消法、倒序相加法、錯位相減法等常用求和方法，對于斐波那契數(shù)列的和你能提出什么問題？用什么方法求和？

問題2已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an，求前n項和Sn．

問題2是貼合本節(jié)求和問題設(shè)計的，引導(dǎo)學(xué)生從遞推關(guān)系和通項關(guān)系兩個角度去考慮求和，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．當(dāng)然更有趣的還有斐波那契數(shù)列的平方和．

圖2

如果把每個斐波那契數(shù)的平方看成以該數(shù)為邊的正方形面積，依據(jù)斐波那契的遞推公式，它們逐漸可拼成一個更大的矩形，這樣所有小正方形的面積之和等于大矩形的面積．這是問題3結(jié)論的幾何驗證．接著在每個正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線，可以動手操作(圖2)，這是一個很神奇的螺線．自然界中存在很多斐波那契螺旋線的圖案，比鸚鵡螺殼(圖3)，松果、鳳梨、向日葵種子等．很多經(jīng)典藝術(shù)作品的構(gòu)圖中也發(fā)現(xiàn)斐波那契螺旋線，如達(dá)芬奇畫作《蒙娜麗莎的微笑》(圖4)，葛飾北齋的《巨浪》，約翰內(nèi)斯·維米爾的《戴珍珠耳環(huán)的少女》，蘋果logo的設(shè)計等．

圖3 圖4

2.4 賞析以斐波那契數(shù)列為文化背景的高考、模考題

圖5

問題5在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用圖5所示的三角形(楊輝三角)解釋了二項和的乘方規(guī)律．右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0, 1, 2, 3, …時(a+b)n展開式的二項式系數(shù)，相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列{an}．例如，a1=1,a2=1+1,a3=1+2, …．

(1)寫出數(shù)列{an}的通項公式(結(jié)果用組合數(shù)表示)，無需證明；

(2)猜想a1+a2+…+an與an+2的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

優(yōu)秀試題滲透數(shù)學(xué)文化也是高三教學(xué)常用的方式，以斐波那契數(shù)列為文化背景的高考題和模考題屢見不鮮[2]，如2009福建高考，第15題同學(xué)報數(shù)拍手問題；2009陜西高考第22題數(shù)列壓軸題；2011湖北高考第15題正方形涂色問題；2012江西高考第12題歸納推理；2012上海高考第14題數(shù)列和函數(shù)綜合．前幾年高考里斐波那契數(shù)列多以壓軸題形式出現(xiàn)，近幾年模擬題里斐波那契數(shù)列呈現(xiàn)形式多樣化，如與算法綜合(2020四川內(nèi)江市模考)，與邏輯綜合(2020湖南省湘潭市一模)，與二項式定理的綜合等．

3 教學(xué)反思

3.1 數(shù)學(xué)文化融入高三復(fù)習(xí)要自然流暢

知識的引入并非強(qiáng)加于學(xué)生，而要凸顯其必要性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)．[2]斐波那契數(shù)列由著名的兔子問題而來，豐富的實際問題背景和應(yīng)用情景讓抽象的數(shù)列靈動起來，學(xué)生的熱情被點燃，也產(chǎn)生了困惑，規(guī)律易得通項難求．斐波那契數(shù)列是一種重要的數(shù)列模型，它和等差等比數(shù)列的研究是一脈相承的，斐波那契數(shù)列內(nèi)容、方法的選取和問題的編制都是以課堂為生長點提出的，與當(dāng)節(jié)復(fù)習(xí)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合、相輔相成，在問題解決中，學(xué)生不僅鞏固應(yīng)用了所學(xué)知識方法，如構(gòu)造法求通項，等比數(shù)列求和，分組并項求和，不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法等，也提高了類比、歸納，遷移的能力．

3.2 斐波那契數(shù)列的教學(xué)價值不止于此

從兔子繁殖問題到高考試題，它的教學(xué)價值不僅于此，如斐波那契數(shù)列的通項公式問題，除了上述構(gòu)造法，還有特征值法，母函數(shù)法等，法國學(xué)者卡西尼、數(shù)學(xué)家棣莫弗從不同角度都有過研究，后來美國還創(chuàng)刊《斐波那契季刊》專門研究該數(shù)列．斐波那契數(shù)列是大自然的暗語，也應(yīng)用于繪畫、建筑、文學(xué)作品中，隨著計算機(jī)的發(fā)展，股市分析圖和編程中都有它的一席之地，它的應(yīng)用與美學(xué)價值也不可小覷．從哲學(xué)上看，道德經(jīng)中“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，如果用0表示“道”，斐波那契數(shù)列正是這句話的精辟表達(dá)．

3.3 落實核心素養(yǎng)，實現(xiàn)育人價值

數(shù)學(xué)文化可以讓學(xué)生從更廣闊的視角思考分析問題，提升學(xué)科思維水平．一系列問題解決過程中，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立起斐波那契數(shù)列的模型，并形成類比、化歸的思想方法．課堂上讓學(xué)生自主和合作探究解決歷史名題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的積極性和主動性，有利于落實直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．最后，從斐波那契數(shù)列的規(guī)律看,不難獲得一個生活真諦，明天的成就=今天的努力+昨天的積累，與君共勉！