高一學(xué)生對對數(shù)函數(shù)理解的研究
——以廣東省中山市某高中為例

韓 聰 (廣東省中山市華僑中學(xué) 528400)

1 問題提出

“對數(shù)”是符號化的數(shù)學(xué)，因抽象難懂使其成為高中生難以理解的概念之一[1]. 國外學(xué)者Kastberg認(rèn)為在教學(xué)時，最難教的概念就是對數(shù)函數(shù)[2]. 對數(shù)函數(shù)是高一的內(nèi)容，既然對數(shù)這么難學(xué)，對數(shù)函數(shù)如此難教，對數(shù)函數(shù)內(nèi)容在高考中又高頻出現(xiàn)，那么高一學(xué)生關(guān)于對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)如何，在學(xué)習(xí)過程中存在哪些學(xué)習(xí)困難都是很值得研究的問題. 弄清這些問題可以更有針對性地幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，對教師教學(xué)也有一定的指導(dǎo)作用.

2 研究的設(shè)計

2.1 研究對象

在廣東省中山市某中學(xué)高一年級隨機選取6個班的學(xué)生作為研究對象. 樣本中，男生125人，女生204人；文科166人，理科163人；重點班110人，平行班219人. 受便利樣本的影響，樣本中男女生人數(shù)略有差異，文理科人數(shù)基本持平.

2.2 研究工具

包括測試卷和問卷，其中測試卷用來了解學(xué)生對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和學(xué)習(xí)困難，問卷主要用來測量學(xué)生關(guān)于對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度.

結(jié)合文獻與《考試大綱》的知識要求，自編測試卷[3-5]. 測試卷從對數(shù)的概念、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)四個維度考查學(xué)生對對數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的理解和掌握情況. 在正式測驗前先對測試卷進行預(yù)測，并對測試題目進行修改和完善，形成了最終測試卷.

問卷主要測量高一學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)時所表現(xiàn)的學(xué)習(xí)興趣、自我效能感和學(xué)習(xí)動機. 施測項目共5題，每題采用李克特量表5級計分方式，從5(表示“非常符合”)到1(表示“非常不符合”). 得分越高說明學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度越積極. 題目主要參考了趙聞敏、王中雷等人設(shè)計的問卷[6-7].

本研究共發(fā)放調(diào)查卷329份，收回有效調(diào)查卷共313份，有效率為95.14%.

3 數(shù)據(jù)整理與分析

3.1 測試卷總體情況

表1呈現(xiàn)了學(xué)生在對數(shù)函數(shù)內(nèi)容四個維度上的表現(xiàn). 從表中數(shù)據(jù)可見，高一學(xué)生在對數(shù)概念和對數(shù)函數(shù)的概念這兩個維度得分率較高，對數(shù)的性質(zhì)其次，對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)維度得分率最低. 筆者認(rèn)為，對數(shù)概念和對數(shù)函數(shù)概念涉及到的知識點較少且二者相關(guān)性強，故二者得分率較高；而對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)由于涉及知識點較多，考點較綜合，故學(xué)生掌握較差.

表1 高一學(xué)生在不同維度上的總體表現(xiàn)

3.2 學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度分析

學(xué)生的學(xué)習(xí)動機較強，自我效能感次之，興趣很低. 學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度與對數(shù)函數(shù)測試成績呈顯著正相關(guān)，數(shù)據(jù)詳見表2、表3.

表2 情感態(tài)度、測試成績基本情況

表3 情感態(tài)度與學(xué)習(xí)表現(xiàn)之間的相關(guān)分析

**表示在0.01水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)

4 結(jié)果分析

4.1 對數(shù)函數(shù)四個維度的學(xué)習(xí)表現(xiàn)

(1) 在對數(shù)概念維度，學(xué)生能解題，但不理解對數(shù)的概念

超過93%的高一學(xué)生可以完成指對互化、知道真數(shù)大于0、能記住兩個常用結(jié)論“l(fā)ogaa=1，loga1=0(a>0，a≠1)”. 但不能從指數(shù)出發(fā)理解對數(shù)各要素的含義，也不理解對數(shù)符號的意義. 此外，也有學(xué)生混淆三種符號log,lg和ln.

(2) 在對數(shù)的運算性質(zhì)維度，能完成對數(shù)的簡單運算，機械記憶公式明顯

超過70%的學(xué)生能運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行基本運算，模仿解題. 但當(dāng)題目結(jié)構(gòu)與運算法則不同時，解題正確率則下降至50%，并衍生出各種各樣的錯誤“性質(zhì)”. 也就是說，將近一半的學(xué)生采取機械記憶的方式背誦對數(shù)的運算性質(zhì)，不能從根本上理解對數(shù)運算的本質(zhì).

(3) 在對數(shù)函數(shù)概念維度，知道對數(shù)函數(shù)定義域，但會忽略對定義域的考察

在對數(shù)函數(shù)概念維度，有近95%的學(xué)生知道對數(shù)函數(shù)的定義域，但當(dāng)題目較綜合沒有直接考察定義域時，則有26.20%的學(xué)生會忽略對定義域的考察.

(4) 在對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)維度，知道對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但分類討論意識不足

主要體現(xiàn)在當(dāng)?shù)讛?shù)是一個未知量時，只有87%左右的學(xué)生意識到要進行分類討論才能判斷單調(diào)性. 在函數(shù)圖象上，有些學(xué)生分不清指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，畫錯圖象，不理解圖象過定點的含義. 在運用圖象和性質(zhì)比較大小問題上，有7.35%的學(xué)生不會比較大小或不會選擇合適的中間量比較大小.

4.2 學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)時出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難

(1)符號理解困難

數(shù)學(xué)符號可以分為元素符號、運算符號、關(guān)系符號和輔助符號[8]. 對數(shù)符號屬于運算符號. 在對數(shù)的運算性質(zhì)維度和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)維度的調(diào)查中都顯示學(xué)生在對數(shù)符號的理解上存在困難，主要體現(xiàn)在不能將對數(shù)符號logab視為一個整體，看作是一種運算，而是將其視為loga和b的乘積關(guān)系，在進行對數(shù)運算和對數(shù)不等式的求解時出現(xiàn)將loga看作因式提取或約去的現(xiàn)象.

(2)運算性質(zhì)理解困難

學(xué)生在對數(shù)運算性質(zhì)的運用上呈現(xiàn)出機械模仿的特征，死記硬背公式明顯. 學(xué)生對對數(shù)運算性質(zhì)的理解僅達到工具性理解階段，尚未達到關(guān)系性理解. 可以運用公式解決簡單的化簡求值問題，但還不能解決一些需要較高認(rèn)知水平的題目.

(3)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用困難

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷上離不開對底數(shù)的分類討論. 當(dāng)?shù)讛?shù)是常數(shù)時，學(xué)生不難判斷函數(shù)的單調(diào)性. 但當(dāng)?shù)讛?shù)是未知數(shù)a時，則有學(xué)生不知道要對底數(shù)進行分類討論才能判斷函數(shù)單調(diào)性.

(4)復(fù)合函數(shù)理解困難

從函數(shù)y=loga(3x-4)圖象過定點問題發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不知道對數(shù)函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的區(qū)別，不能將函數(shù)y=loga(3x-4)視為對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，誤以為對數(shù)函數(shù)y=logax圖象與對數(shù)型函數(shù)y=loga(3x-4)圖象經(jīng)過相同的定點.

4.3 有關(guān)對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度

對于對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，高一學(xué)生表現(xiàn)出學(xué)習(xí)興趣不濃，不知道學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)有什么用. 自我效能感也比較低. 盡管學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)動機較強，但往往是從考試為出發(fā)點，而不是源于對對數(shù)函數(shù)應(yīng)用價值的認(rèn)識. 學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的情感態(tài)度與對數(shù)函數(shù)測試成績呈顯著正相關(guān).

5 教學(xué)建議

(1) 重視概念的形成過程

“對數(shù)”是符號化的數(shù)學(xué)，抽象的符號定義給學(xué)生的理解帶來了困難[9].學(xué)生如果不能理清對數(shù)符號、底數(shù)、真數(shù)之間的關(guān)系，必將直接影響對數(shù)運算性質(zhì)的理解和運用，導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理的錯誤. 因此，教師在對數(shù)概念教學(xué)時應(yīng)著重強調(diào)對數(shù)符號中底數(shù)、真數(shù)的含義，利用好指對互化，規(guī)范學(xué)生對數(shù)符號的書寫，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解對數(shù)的概念.

(2) 加強對數(shù)運算本質(zhì)的理解，克服負(fù)遷移帶來的消極影響

遷移是一種心理現(xiàn)象，是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的影響. 遷移有正遷移和負(fù)遷移之分. 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能出現(xiàn)偏差或某個認(rèn)知環(huán)節(jié)有缺陷，便會出現(xiàn)學(xué)習(xí)中的負(fù)遷移[10]. 對數(shù)運算與四則運算的結(jié)構(gòu)不同，學(xué)生對對數(shù)符號的錯誤理解導(dǎo)致運算性質(zhì)的學(xué)習(xí)出現(xiàn)偏差，得出一些錯誤結(jié)論.

(3) 充分利用教材中的閱讀材料

通過訪談得知，絕大多數(shù)教師并沒有介紹對數(shù)的發(fā)展歷史及其在簡化運算中的作用，學(xué)生也沒有閱讀教材中關(guān)于對數(shù)歷史的閱讀材料. 也就是說學(xué)生對對數(shù)簡化運算的作用一無所知，完全感受不到引入對數(shù)的必要性. 這種情況下學(xué)習(xí)對數(shù)，學(xué)生無疑會覺得非常突兀. 筆者認(rèn)為教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生介紹對數(shù)的發(fā)展史，或引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)教材中的閱讀材料，充分體會引入對數(shù)的必要性.

附錄一 測試卷

1. (7分)把3a=b改寫為對數(shù)式；把改寫為指數(shù)式.

2. (7分)使對數(shù)loga(4-a)有意義的實數(shù)a的取值范圍是

( )

A．a(chǎn)<4 B．0

C．a(chǎn)>0,且a≠1 D．0

3. (7分)已知數(shù)log5(log2x)=0，求x的值.

5.計算((1)、(3)每題7分，(2) 9分):

(1)log354-log38+log34

(2) lg 21g 50+1g 5lg 20-lg 100lg 51g 2

(3) log34×log29

6. (7分)函數(shù)y=log3(3x-2)的定義域為.

8. (7分)已知lnx

9. (12分)求使不等式loga(x+1)>loga(1-x)成立的x的集合，其中a>0且a≠1.

11. (5分)函數(shù)y=loga(3x-4)圖象過定點.(其中a>0且a≠1)

附錄二 測試卷