如何深入研究數學題
——以一道考試填空題為例*

李廣修 (江蘇省無錫市第一中學 214031)

數學教學過程中，我們時常被告誡不能就題論題，可我們通常仍是難免就題論題．也許是因為教學任務繁重，無暇多做研究；也許是因為不知如何進一步探索，無力深入研究；也許是因為還沒有認識到經常深入地研究一些數學題會對數學教學產生積極影響．

1 統元識，識“好題”

實際上，抓住一些典型數學題，尤其是對一些大型考試中的數學題進行“解麻雀”，可以促使我們擴充個人的數學知識邊界，加深個人對數學知識本質的認識，精進數學技能，強化應用數學思想方法解決問題的意識，從而達到“庖丁解牛”的境界，引來學生“技蓋至此乎”的感嘆．

之所以選擇大型考試中的題目，是因為一般而言大型考試能夠以課程標準為準繩，從教材中挖掘試題素材；每道試題都有明確的測量指向，其考查要求具有較好的基礎性、綜合性、應用性、創新性，而且由設置適當情境而提出數學問題，能夠有效地考查數學的必備知識、關鍵能力和核心素養；每道試題都是經過斟酌又斟酌，精挑細選．特別是大型考試中初識便讓人耳目一新的試題，可把它作為“追獵”的對象．所謂的“好題”，就是能生“金蛋”的題：研究它，能促使我們產生好多新的認識，能派生出一些新的問題刺激我們進一步研究．

這里以2019-2020年度江蘇省蘇錫常鎮四市高三教學情況調研(二)的一道填空題為例，談談如何對一道數學題進行深入研究.

此題既綜合了直線與圓、圓與圓的位置關系，又綜合了解析幾何、平面幾何、向量、不等式等內容，數形結合味道特別明顯．這類問題還是高中數學的重點內容，是近年高考數學中的熱點問題．

2 立深識，識要切

我們如果沿以下思路作出研究，便可以讓此題發揮出小中見大的作用，如此進行，也可以舉一反三，觸類旁通．

第一步 研究題目意圖

要深入研究數學題，首先就要研究題目的意圖．為此，先通過適當的方式解讀題目的顯性含義，明晰題目的已知條件、求解目標以及已知與未知的關系．就本題而言，要按其敘述一步一步地把圖、式、關系勾勒出來，從全局的角度去觀察，研判圖形結構、量之間的關鍵關系，而不是點、線、三角形、四邊形、圓一個個看過去，變元一個個思量，只進行孤立分析．要在看題和思考的過程中，通過想象各種符號、對象、運算所構成的網絡，充分發揮想象的直觀作用，感知整體，抓住要點與關鍵，暫不去考慮邏輯細節．繼而，要完完全全地把題目解答出來．在明確了解題切入口、路徑后，要制定詳細的解題方案并一步不落地執行，以檢驗解題方案的可行性、優劣度．只有通過這樣切實的解題實踐活動，才能清楚地知悉完成題目解答所需的知識、技能、思想方法是哪些，要有怎樣的認知過程，也才能真正明白題目的意圖到底是什么，從而有效地選擇破題之策．

圖1

比如，圖形被完整地畫出來后(圖1)，要從整體上看，發現OMNO1，ON∥O1M，ON是△ABM的中位線，AM=2ON，AO1長度是3．于是點A是圓O：x2+y2=1與O2：(x-a)2+y2=9的公共點．這樣一來，問題就轉化為圓和圓有公共點的問題，其解題路徑以向量運算或解析幾何為主渠道．至此，這道題的命制意圖就很清楚了：從數學內部構建了一個關于兩圓位置關系的綜合情境，提出了一個數與形結合的問題．

第二步 剖析試錯原委

反省解題發生錯誤的原委，是條件沒用全．可以把這樣的解題錯誤歸因于審題不細致，要把它作為一條經驗教訓來吸取．如果我們再深入地想一想，會有更多收獲：無論是在解題還是教學中，我們總是通過圖形的性質、通過代數的整體化來求解直線與圓的位置關系問題，很少“硬求”兩圓的交點，而這里竟然就這么做了，好像也只有這么做才行的通．因此，本例又可以作為促進我們端正對數形結合的認識的典型例子，它能讓我們認識到解數學題既不可完全依賴數，也不可完全依賴形．這些思考也深刻揭示了剖析試錯原委的重要價值．

第三步 探討轉化等價

求證類問題是證明命題的“必要性”，也就是從已知、定義、公式、定理、公理、運算律、運算法則出發，邏輯性地推出結論．而對于求解類問題，不僅要求可以順推，還要求能夠逆推，即求解的結果要和已知等價，是充要條件．這就要求在解決問題時，每一步操作都能進行等價轉化．有時解答出錯，原因就出在轉化不等價．解題的嚴密性對數學教師來講是基本素養的體現，也是非常重要的要求．

第四步 探索其他解法

不同解法對應著對同一問題或知識的不同理解與表征，作為教師，我們多多少少能感受到一題多解對解題及教學的作用．下面，我們以此題為例探索其他解法．

首先，可以通過題目條件的要素探索解法．很明顯，題目中共線的條件較多，而數乘向量是解決點共線的銳利武器，不妨沿此方向進行探索．

其次，可以通過問題的歸類尋求通性通法．作為一道數形結合問題，解析幾何的方法是解決數形轉換的有力工具，順著這條途徑可以獲得如下解法：

除此之外，我們還可以研究本題的各種解法所體現的共同思想、本題和曾經解答過的某些題的共性，研究本題解法的可遷移性以及變式等．

3 再認識，識升華

由上可知，對具有一定意蘊的數學題作深入研究，有利于反思所教、溯本求源、回到產生知識的起點，溝通數學知識之間的聯系，阻斷知識的碎片化，跳出題海，抽象出數學模式；有利于進一步地掌握數學知識、技能、思想和方法，提升理性思維，促進思維能力、實踐能力和創新意識的發展；也有利于培養好奇、好問、好思的良好研究習慣，提高發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力．要做到深入研究，我們就要有自覺意識，有獨立思考意識、批判意識，并為此付出持續努力．

抓初識是深入研究數學題的時機，抓“好題”則是深入研究數學題的選題標準，標準反映了深入研究的題目應是有代表性的思想方法值得學習的這一要求．“弱水三千，只取一瓢飲”，單墫博士曾指出[1]：從大洋中舀一瓢水，細細品味，就可以知道大洋的成分．當然，深入研究數學題的哪些方面、研究到什么程度，則應量“題”裁衣、量力而行．成熟的、經驗豐富的教師對大多數數學題都能“耳熟能詳”，而要深入研究數學題，則要注意以理論為指導，還要注意探求已得答案的意義．羅增儒教授曾經形象化地指出[2]：解題前的分析如同在黑房間里摸索，而解題后的回顧如同拉開了房間的電燈，后者比前者多了很多信息，其中結論也是已知信息．