齊次線性方程組解空間的性質及應用

賈宏宇，張淑娜，陳衍峰

齊次線性方程組作為高等代數理論的一項重要分支，源于生活和生產實踐.齊次線性方程組是高等代數的基本研究內容之一，同時也是貫穿高等代數知識的主線［1］.隨著計算機應用的普及，線性方程組理論被廣泛應用到科學、技術和經濟管理等領域.齊次線性方程在解決各類科學知識中有著極為廣泛的應用.隨著中學數學教學改革，已有很多高等數學的知識滲透到中學數學教學中［2-3］. 近年來，國際中學生奧林匹克數學競賽的試題中，與齊次線性方程有關的題目呈遞增的趨勢［4-5］.本文介紹了齊次線性方程組的基本理論，并運用齊次線性方程組的相關理論，探究其在初等數學及高等數學中的應用，進而對齊次線性方程組有更深入地理解.

1 線性方程組的基本理論

定理1［1］n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是方程組的系數行列式等于零.

推論1［2］若齊次線性方程組中s=n，方程組有唯一零解的充要條件是方程組的系數行列式不等于零.

定 理2［3］若 在 齊 次 線 性 方 程 組 中，方 程的個數小于未知量的個數，那么這個方程組必有非零解.

定理3［4］設齊次線性方程組的系數矩陣的秩r

2 齊次線性方程組在初等數學中的應用

2.1 證明等式的應用

此方面的應用是將已知條件聯立成齊次線性方程組，然后利用齊次線性方程組有非零解的條件，即方程組的系數行列式為零，證得所要證明的等式關系.

例1 若……