ANA 誤差下非參數回歸模型中估計量的相合性

何其慧

考慮如下非參數回歸模型：

其中：xni為緊集A?Rp上的固定設計點列，g為A上待估的回歸函數，εni,1 ≤i≤n,n≥1為隨機誤差.考慮如下關于g的線性加權估計：

其中：Wni(x) =Wni(x;xn1,xn2,…,xnn),i= 1,2,…,n為權函數.

上面的估計量（2）最早由Georgiev［1］提出.由于其廣泛的適用性，很多學者都對此估計量進行了深入的研究，如文獻［2-8］.由于獨立假設的不合理性，近些年來很多學者都將獨立場合下經典的極限理論和統計大樣本理論推廣到各種相依情形.本文將在一類非常寬泛的相依結構——漸近負相協（ANA）誤差下繼續研究估計量（2）的相合性.ANA（或ρ--混合）隨機變量的概念是由文獻［9］提出的.

定義混合系數如下：

其中? 是非降函數的集合.若混合系數

本文引用如下一些記號：C代表正的常數，在不同的地方可以取不同的值，I(A)為事件A的示性函數，[x]表示不超過x的最大整數，a+=aI(a≥0)且a-= -aI(a< 0).

1 預備知識

下面介紹關于隨機控制的概念.

定 義1［9］若存在常數C，使得對所有的x≥0及n≥1，都有

則稱隨機變量序列{ }Xn,n≥1 被隨機變量X隨機控制.

為證明本文的主要結果，還需要下述幾個重要引理.

引 理1［9］設隨機變量{Xn,n≥1}為ANA的.若為單調非降（或非增）函數序列，那么仍為ANA 的，且其控制系數不大于ρ-(n).

引 理2［12］假設為均值是0 的ANA 隨機序列且存在p≥2，使得則存在僅依賴于p及的常數C，使得

由引理2 及文獻［13］中定理2.1 的方法，可得到如下關于ANA 隨機變量的Marcinkiewicz-Zygmund 型矩不等式.

引 理3［13］假 設{Xn,n≥1}為均值是0 的ANA 隨機序列且存在1

引 理4［14］假 設是被隨機變量X隨機控制的隨機序列，則對任意的a> 0,b>0 及n≥1，都有

其中：C1和C2代表不同的正常數.

2 主要結果

在給出主……